Giải tích Ví dụ

$\int \frac{x^{3}}{\sqrt{x^{2} + 1}} d x$

Bước 1

Giả sử $u = x^{2} + 1$ . Sau đó $d u = 2 x d x$ , nên $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Hãy đặt $u = x^{2} + 1$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Tính đạo hàm $x^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Bước 1.1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x^{2} + 1$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Bước 1.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [1]$

Bước 1.1.4

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$2 x + 0$

Bước 1.1.5

Cộng $2 x$ và $0$ .

$2 x$

Bước 1.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$\int \frac{{\sqrt{u - 1}}^{2}}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2} d u$

Bước 2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Viết lại ${\sqrt{u - 1}}^{2}$ ở dạng $u - 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{u - 1}$ ở dạng ${(u - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \frac{{({(u - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2} d u$

Bước 2.1.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int \frac{{(u - 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2} d u$

Bước 2.1.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $2$ .

$\int \frac{{(u - 1)}^{\frac{2}{2}}}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2} d u$

Bước 2.1.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\int \frac{{(u - 1)}^{\frac{2}{2}}}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2} d u$

Bước 2.1.4.2

Viết lại biểu thức.

$\int \frac{{(u - 1)}^{1}}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2} d u$

Bước 2.1.5

Rút gọn.

$\int \frac{u - 1}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2} d u$

Bước 2.2

Nhân $\frac{u - 1}{\sqrt{u}}$ với $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{u - 1}{\sqrt{u} \cdot 2} d u$

Bước 2.3

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $\sqrt{u}$ .

$\int \frac{u - 1}{2 \sqrt{u}} d u$

Bước 3

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{2} \int \frac{u - 1}{\sqrt{u}} d u$

Bước 4

Áp dụng các quy tắc số mũ cơ bản.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{u}$ ở dạng $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{u - 1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

Bước 4.2

Di chuyển $u^{\frac{1}{2}}$ ra ngoài mẫu số bằng cách nâng nó lên lũy thừa $- 1$ .

$\frac{1}{2} \int (u - 1) {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

Bước 4.3

Nhân các số mũ trong ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} \int (u - 1) u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

Bước 4.3.2

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $- 1$ .

$\frac{1}{2} \int (u - 1) u^{\frac{- 1}{2}} d u$

Bước 4.3.3

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{1}{2} \int (u - 1) u^{- \frac{1}{2}} d u$

Bước 5

Khai triển $(u - 1) u^{- \frac{1}{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{1}{2} \int u \cdot u^{- \frac{1}{2}} - 1 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Bước 5.2

Nâng $u$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{1}{2} \int u^{1} u^{- \frac{1}{2}} - 1 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Bước 5.3

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{1}{2} \int u^{1 - \frac{1}{2}} - 1 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Bước 5.4

Viết $1$ ở dạng một phân số với một mẫu số chung.

$\frac{1}{2} \int u^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}} - 1 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Bước 5.5

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{1}{2} \int u^{\frac{2 - 1}{2}} - 1 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Bước 5.6

Trừ $1$ khỏi $2$ .

$\frac{1}{2} \int u^{\frac{1}{2}} - 1 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Bước 6

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\frac{1}{2} (\int u^{\frac{1}{2}} d u + \int - 1 u^{- \frac{1}{2}} d u)$

Bước 7

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u^{\frac{1}{2}}$ đối với $u$ là $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C + \int - 1 u^{- \frac{1}{2}} d u)$

Bước 8

Vì $- 1$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{2} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C - \int u^{- \frac{1}{2}} d u)$

Bước 9

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u^{- \frac{1}{2}}$ đối với $u$ là $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C - (2 u^{\frac{1}{2}} + C))$

Bước 10

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Rút gọn.

$\frac{1}{2} (\frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3} - 2 u^{\frac{1}{2}}) + C$

Bước 10.2

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{1}{2} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} - 2 u^{\frac{1}{2}}) + C$

Bước 11

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $x^{2} + 1$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2}{3} {(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} - 2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}) + C$

Bước 12

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1

Kết hợp $\frac{2}{3}$ và ${(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - 2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}) + C$

Bước 12.2

Để viết $- 2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - 2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{3}{3}) + C$

Bước 12.3

Kết hợp $- 2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ và $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{- 2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot 3}{3}) + C$

Bước 12.4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} - 2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot 3}{3} + C$

Bước 12.5

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.5.1

Đưa $2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ ra ngoài $2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} - 2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot 3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.5.1.1

Di chuyển ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} - 2 \cdot 3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{3} + C$

Bước 12.5.1.2

Đưa $2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ ra ngoài $2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} ({(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{2}}) - 2 \cdot 3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{3} + C$

Bước 12.5.1.3

Đưa $2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ ra ngoài $- 2 \cdot 3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} ({(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{2}}) + 2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (- 1 \cdot 3)}{3} + C$

Bước 12.5.1.4

Đưa $2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ ra ngoài $2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} ({(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{2}}) + 2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (- 1 \cdot 3)$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} ({(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{2}} - 1 \cdot 3)}{3} + C$

Bước 12.5.2

Nhân $- 1$ với $3$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} ({(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{2}} - 3)}{3} + C$

Bước 12.5.3

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.5.3.1

Chia $2$ cho $2$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} ({(x^{2} + 1)}^{1} - 3)}{3} + C$

Bước 12.5.3.2

Rút gọn.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (x^{2} + 1 - 3)}{3} + C$

Bước 12.5.4

Trừ $3$ khỏi $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (x^{2} - 2)}{3} + C$

Bước 12.6

Kết hợp.

$\frac{1 (2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (x^{2} - 2))}{2 \cdot 3} + C$

Bước 12.7

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1 (2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (x^{2} - 2))}{2 \cdot 3} + C$

Bước 12.8

Viết lại biểu thức.

$\frac{1 ({(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (x^{2} - 2))}{3} + C$

Bước 12.9

Nhân ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ với $1$ .

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (x^{2} - 2)}{3} + C$