Giải tích Ví dụ

$\int \frac{x^{2}}{x + 1} d x$

Bước 1

Giả sử $u = x + 1$ . Sau đó $d u = d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Hãy đặt $u = x + 1$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Tính đạo hàm $x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

Bước 1.1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x + 1$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Bước 1.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

Bước 1.1.4

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$1 + 0$

Bước 1.1.5

Cộng $1$ và $0$ .

$1$

Bước 1.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$\int \frac{{(u - 1)}^{2}}{u} d u$

Bước 2

Rút gọn bằng cách nhân.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Viết lại ${(u - 1)}^{2}$ ở dạng $(u - 1) (u - 1)$ .

$\int \frac{(u - 1) (u - 1)}{u} d u$

Bước 2.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\int \frac{u (u - 1) - 1 (u - 1)}{u} d u$

Bước 2.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\int \frac{u \cdot u + u \cdot - 1 - 1 (u - 1)}{u} d u$

Bước 2.4

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\int \frac{u \cdot u + u \cdot - 1 - 1 u - 1 \cdot - 1}{u} d u$

Bước 2.5

Sắp xếp lại $u$ và $- 1$ .

$\int \frac{u \cdot u - 1 \cdot u - 1 u - 1 \cdot - 1}{u} d u$

Bước 3

Nâng $u$ lên lũy thừa $1$ .

$\int \frac{u^{1} u - 1 u - 1 u - 1 \cdot - 1}{u} d u$

Bước 4

Nâng $u$ lên lũy thừa $1$ .

$\int \frac{u^{1} u^{1} - 1 u - 1 u - 1 \cdot - 1}{u} d u$

Bước 5

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\int \frac{u^{1 + 1} - 1 u - 1 u - 1 \cdot - 1}{u} d u$

Bước 6

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Cộng $1$ và $1$ .

$\int \frac{u^{2} - 1 u - 1 u - 1 \cdot - 1}{u} d u$

Bước 6.2

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$\int \frac{u^{2} - 1 u - 1 u + 1}{u} d u$

Bước 7

Trừ $1 u$ khỏi $- 1 u$ .

$\int \frac{u^{2} - 2 u + 1}{u} d u$

Bước 8

Chia $u^{2} - 2 u + 1$ cho $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Lập các đa thức được chia. Nếu không có đủ số hạng cho mọi số mũ, hãy chèn một số hạng có giá trị $0$ .

$u$

$0$

$u^{2}$

$2 u$

$1$

Bước 8.2

Chia số hạng bậc cao nhất trong biểu thức bị chia $u^{2}$ cho số hạng bậc cao nhất trong biểu thức chia $u$ .

					$u$
	$u$	+	$0$		$u^{2}$	-	$2 u$	+	$1$

Bước 8.3

Nhân số hạng thương số mới với số chia.

				$u$
$u$	+	$0$		$u^{2}$	-	$2 u$	+	$1$
			+	$u^{2}$	+	$0$

Bước 8.4

Biểu thức cần được trừ khỏi số bị chia, vì vậy hãy đổi tất cả các dấu trong $u^{2} + 0$

				$u$
$u$	+	$0$		$u^{2}$	-	$2 u$	+	$1$
			-	$u^{2}$	-	$0$

Bước 8.5

Sau khi đổi các dấu, cộng số bị chia cuối cùng của đa thức từ phép nhân để tìm số bị chia mới.

				$u$
$u$	+	$0$		$u^{2}$	-	$2 u$	+	$1$
			-	$u^{2}$	-	$0$
					-	$2 u$

Bước 8.6

Đưa các số hạng tiếp theo từ biểu thức bị chia ban đầu xuống dưới biểu thức bị chia hiện tại.

				$u$
$u$	+	$0$		$u^{2}$	-	$2 u$	+	$1$
			-	$u^{2}$	-	$0$
					-	$2 u$	+	$1$

Bước 8.7

Chia số hạng bậc cao nhất trong biểu thức bị chia $- 2 u$ cho số hạng bậc cao nhất trong biểu thức chia $u$ .

				$u$	-	$2$
$u$	+	$0$		$u^{2}$	-	$2 u$	+	$1$
			-	$u^{2}$	-	$0$
					-	$2 u$	+	$1$

Bước 8.8

Nhân số hạng thương số mới với số chia.

				$u$	-	$2$
$u$	+	$0$		$u^{2}$	-	$2 u$	+	$1$
			-	$u^{2}$	-	$0$
					-	$2 u$	+	$1$
					-	$2 u$	+	$0$

Bước 8.9

Biểu thức cần được trừ khỏi số bị chia, vì vậy hãy đổi tất cả các dấu trong $- 2 u + 0$

				$u$	-	$2$
$u$	+	$0$		$u^{2}$	-	$2 u$	+	$1$
			-	$u^{2}$	-	$0$
					-	$2 u$	+	$1$
					+	$2 u$	-	$0$

Bước 8.10

Sau khi đổi các dấu, cộng số bị chia cuối cùng của đa thức từ phép nhân để tìm số bị chia mới.

				$u$	-	$2$
$u$	+	$0$		$u^{2}$	-	$2 u$	+	$1$
			-	$u^{2}$	-	$0$
					-	$2 u$	+	$1$
					+	$2 u$	-	$0$
							+	$1$

Bước 8.11

Đáp án cuối cùng là thương cộng với phần còn lại trên số chia.

$\int u - 2 + \frac{1}{u} d u$

Bước 9

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\int u d u + \int - 2 d u + \int \frac{1}{u} d u$

Bước 10

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u$ đối với $u$ là $\frac{1}{2} u^{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{2} + C + \int - 2 d u + \int \frac{1}{u} d u$

Bước 11

Áp dụng quy tắc hằng số.

$\frac{1}{2} u^{2} + C - 2 u + C + \int \frac{1}{u} d u$

Bước 12

Tích phân của $\frac{1}{u}$ đối với $u$ là $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{2} u^{2} + C - 2 u + C + \ln (| u |) + C$

Bước 13

Rút gọn.

$\frac{1}{2} u^{2} - 2 u + \ln (| u |) + C$

Bước 14

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $x + 1$ .

$\frac{1}{2} {(x + 1)}^{2} - 2 (x + 1) + \ln (| x + 1 |) + C$