Giải tích Ví dụ

$\int_{1}^{2} \frac{e^{\frac{1}{x^{3}}}}{x^{4}} d x$

Bước 1

Giả sử $u = \frac{1}{x^{3}}$ . Sau đó $d u = - \frac{3}{x^{4}} d x$ , nên $1 d u = - \frac{3}{x^{4}} d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Hãy đặt $u = \frac{1}{x^{3}}$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Tính đạo hàm $\frac{1}{x^{3}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$

Bước 1.1.2

Áp dụng các quy tắc số mũ cơ bản.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.1

Viết lại $\frac{1}{x^{3}}$ ở dạng ${(x^{3})}^{- 1}$ .

$\frac{d}{d x} [{(x^{3})}^{- 1}]$

Bước 1.1.2.2

Nhân các số mũ trong ${(x^{3})}^{- 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.2.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3 \cdot - 1}]$

Bước 1.1.2.2.2

Nhân $3$ với $- 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{- 3}]$

Bước 1.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = - 3$ .

$- 3 x^{- 4}$

Bước 1.1.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.4.1

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 3 \frac{1}{x^{4}}$

Bước 1.1.4.2

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.4.2.1

Kết hợp $- 3$ và $\frac{1}{x^{4}}$ .

$\frac{- 3}{x^{4}}$

Bước 1.1.4.2.2

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{3}{x^{4}}$

Bước 1.2

Thay giới hạn dưới vào cho $x$ trong $u = \frac{1}{x^{3}}$ .

$u_{lower} = \frac{1}{1^{3}}$

Bước 1.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$u_{lower} = \frac{1}{1}$

Bước 1.3.2

Chia $1$ cho $1$ .

$u_{lower} = 1$

Bước 1.4

Thay giới hạn trên vào cho $x$ trong $u = \frac{1}{x^{3}}$ .

$u_{upper} = \frac{1}{2^{3}}$

Bước 1.5

Nâng $2$ lên lũy thừa $3$ .

$u_{upper} = \frac{1}{8}$

Bước 1.6

Các giá trị tìm được cho $u_{lower}$ và $u_{upper}$ sẽ được sử dụng để tính tích phân xác định.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = \frac{1}{8}$

Bước 1.7

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ , $d u$ , và các giới hạn mới của phép tích phân.

$\int_{1}^{\frac{1}{8}} - \frac{1}{3} e^{u} d u$

Bước 2

Vì $- \frac{1}{3}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $- \frac{1}{3}$ ra khỏi tích phân.

$- \frac{1}{3} \int_{1}^{\frac{1}{8}} e^{u} d u$

Bước 3

Tích phân của $e^{u}$ đối với $u$ là $e^{u}$ .

$- \frac{1}{3} e^{u}]_{1}^{\frac{1}{8}}$

Bước 4

Tính $e^{u}$ tại $\frac{1}{8}$ và tại $1$ .

$- \frac{1}{3} ((e^{\frac{1}{8}}) - e^{1})$

Bước 5

Rút gọn.

$- \frac{1}{3} (e^{\frac{1}{8}} - e)$

Bước 6

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$- \frac{1}{3} \cdot (e^{\frac{1}{8}} - e)$

Dạng thập phân:

$0.52837779 \dots$