Giải tích Ví dụ

$\int_{0}^{13} \frac{1}{\sqrt[3]{{(1 + 2 x)}^{2}}} d x$

Bước 1

Giả sử $u = 1 + 2 x$ . Sau đó $d u = 2 d x$ , nên $\frac{1}{2} d u = d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Hãy đặt $u = 1 + 2 x$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Tính đạo hàm $1 + 2 x$ .

$\frac{d}{d x} [1 + 2 x]$

Bước 1.1.2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $1 + 2 x$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [2 x]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [2 x]$

Bước 1.1.2.2

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [2 x]$

Bước 1.1.3

Tính $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.3.1

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 x$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 + 2 \frac{d}{d x} [x]$

Bước 1.1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$0 + 2 \cdot 1$

Bước 1.1.3.3

Nhân $2$ với $1$ .

$0 + 2$

Bước 1.1.4

Cộng $0$ và $2$ .

$2$

Bước 1.2

Thay giới hạn dưới vào cho $x$ trong $u = 1 + 2 x$ .

$u_{lower} = 1 + 2 \cdot 0$

Bước 1.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Nhân $2$ với $0$ .

$u_{lower} = 1 + 0$

Bước 1.3.2

Cộng $1$ và $0$ .

$u_{lower} = 1$

Bước 1.4

Thay giới hạn trên vào cho $x$ trong $u = 1 + 2 x$ .

$u_{upper} = 1 + 2 \cdot 13$

Bước 1.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.1

Nhân $2$ với $13$ .

$u_{upper} = 1 + 26$

Bước 1.5.2

Cộng $1$ và $26$ .

$u_{upper} = 27$

Bước 1.6

Các giá trị tìm được cho $u_{lower}$ và $u_{upper}$ sẽ được sử dụng để tính tích phân xác định.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 27$

Bước 1.7

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ , $d u$ , và các giới hạn mới của phép tích phân.

$\int_{1}^{27} \frac{1}{\sqrt[3]{u^{2}}} \cdot \frac{1}{2} d u$

Bước 2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Nhân $\frac{1}{\sqrt[3]{u^{2}}}$ với $\frac{1}{2}$ .

$\int_{1}^{27} \frac{1}{\sqrt[3]{u^{2}} \cdot 2} d u$

Bước 2.2

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $\sqrt[3]{u^{2}}$ .

$\int_{1}^{27} \frac{1}{2 \sqrt[3]{u^{2}}} d u$

Bước 3

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{2} \int_{1}^{27} \frac{1}{\sqrt[3]{u^{2}}} d u$

Bước 4

Áp dụng các quy tắc số mũ cơ bản.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt[3]{u^{2}}$ ở dạng $u^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{1}{2} \int_{1}^{27} \frac{1}{u^{\frac{2}{3}}} d u$

Bước 4.2

Di chuyển $u^{\frac{2}{3}}$ ra ngoài mẫu số bằng cách nâng nó lên lũy thừa $- 1$ .

$\frac{1}{2} \int_{1}^{27} {(u^{\frac{2}{3}})}^{- 1} d u$

Bước 4.3

Nhân các số mũ trong ${(u^{\frac{2}{3}})}^{- 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} \int_{1}^{27} u^{\frac{2}{3} \cdot - 1} d u$

Bước 4.3.2

Nhân $\frac{2}{3} \cdot - 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.2.1

Kết hợp $\frac{2}{3}$ và $- 1$ .

$\frac{1}{2} \int_{1}^{27} u^{\frac{2 \cdot - 1}{3}} d u$

Bước 4.3.2.2

Nhân $2$ với $- 1$ .

$\frac{1}{2} \int_{1}^{27} u^{\frac{- 2}{3}} d u$

Bước 4.3.3

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{1}{2} \int_{1}^{27} u^{- \frac{2}{3}} d u$

Bước 5

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u^{- \frac{2}{3}}$ đối với $u$ là $3 u^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{1}{2} 3 u^{\frac{1}{3}}]_{1}^{27}$

Bước 6

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Tính $3 u^{\frac{1}{3}}$ tại $27$ và tại $1$ .

$\frac{1}{2} ((3 \cdot 27^{\frac{1}{3}}) - 3 \cdot 1^{\frac{1}{3}})$

Bước 6.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1

Viết lại $27$ ở dạng $3^{3}$ .

$\frac{1}{2} (3 \cdot {(3^{3})}^{\frac{1}{3}} - 3 \cdot 1^{\frac{1}{3}})$

Bước 6.2.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} (3 \cdot 3^{3 (\frac{1}{3})} - 3 \cdot 1^{\frac{1}{3}})$

Bước 6.2.3

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.3.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{2} (3 \cdot 3^{3 (\frac{1}{3})} - 3 \cdot 1^{\frac{1}{3}})$

Bước 6.2.3.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{2} (3 \cdot 3^{1} - 3 \cdot 1^{\frac{1}{3}})$

Bước 6.2.4

Tính số mũ.

$\frac{1}{2} (3 \cdot 3 - 3 \cdot 1^{\frac{1}{3}})$

Bước 6.3

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.1

Nhân $3$ với $3$ .

$\frac{1}{2} (9 - 3 \cdot 1^{\frac{1}{3}})$

Bước 6.3.2

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$\frac{1}{2} (9 - 3 \cdot 1)$

Bước 6.3.3

Nhân $- 3$ với $1$ .

$\frac{1}{2} (9 - 3)$

Bước 6.3.4

Trừ $3$ khỏi $9$ .

$\frac{1}{2} \cdot 6$

Bước 6.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.4.1

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $6$ .

$\frac{6}{2}$

Bước 6.4.2

Triệt tiêu thừa số chung của $6$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.4.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $6$ .

$\frac{2 \cdot 3}{2}$

Bước 6.4.2.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.4.2.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$\frac{2 \cdot 3}{2 (1)}$

Bước 6.4.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 1}$

Bước 6.4.2.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{3}{1}$

Bước 6.4.2.2.4

Chia $3$ cho $1$ .

$3$