Giải tích Ví dụ

$π \int_{0}^{2} {(3 x^{2} + 2)}^{2} d x$

Bước 1

Không thể hoàn thành tích phân này bằng phương pháp thay thế u. Mathway sẽ sử dụng phương pháp khác.

Bước 2

Khai triển ${(3 x^{2} + 2)}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Viết lại ${(3 x^{2} + 2)}^{2}$ ở dạng $(3 x^{2} + 2) (3 x^{2} + 2)$ .

$π \int_{0}^{2} (3 x^{2} + 2) (3 x^{2} + 2) d x$

Bước 2.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$π \int_{0}^{2} 3 x^{2} (3 x^{2} + 2) + 2 (3 x^{2} + 2) d x$

Bước 2.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$π \int_{0}^{2} 3 x^{2} (3 x^{2}) + 3 x^{2} \cdot 2 + 2 (3 x^{2} + 2) d x$

Bước 2.4

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$π \int_{0}^{2} 3 x^{2} (3 x^{2}) + 3 x^{2} \cdot 2 + 2 (3 x^{2}) + 2 \cdot 2 d x$

Bước 2.5

Di chuyển $x^{2}$ .

$π \int_{0}^{2} 3 \cdot 3 x^{2} x^{2} + 3 x^{2} \cdot 2 + 2 (3 x^{2}) + 2 \cdot 2 d x$

Bước 2.6

Di chuyển $x^{2}$ .

$π \int_{0}^{2} 3 \cdot 3 x^{2} x^{2} + 3 \cdot 2 x^{2} + 2 (3 x^{2}) + 2 \cdot 2 d x$

Bước 2.7

Nhân $3$ với $3$ .

$π \int_{0}^{2} 9 x^{2} x^{2} + 3 \cdot 2 x^{2} + 2 \cdot 3 x^{2} + 2 \cdot 2 d x$

Bước 2.8

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$π \int_{0}^{2} 9 x^{2 + 2} + 3 \cdot 2 x^{2} + 2 \cdot 3 x^{2} + 2 \cdot 2 d x$

Bước 2.9

Cộng $2$ và $2$ .

$π \int_{0}^{2} 9 x^{4} + 3 \cdot 2 x^{2} + 2 \cdot 3 x^{2} + 2 \cdot 2 d x$

Bước 2.10

Nhân $3$ với $2$ .

$π \int_{0}^{2} 9 x^{4} + 6 x^{2} + 2 \cdot 3 x^{2} + 2 \cdot 2 d x$

Bước 2.11

Nhân $2$ với $3$ .

$π \int_{0}^{2} 9 x^{4} + 6 x^{2} + 6 x^{2} + 2 \cdot 2 d x$

Bước 2.12

Nhân $2$ với $2$ .

$π \int_{0}^{2} 9 x^{4} + 6 x^{2} + 6 x^{2} + 4 d x$

Bước 2.13

Cộng $6 x^{2}$ và $6 x^{2}$ .

$π \int_{0}^{2} 9 x^{4} + 12 x^{2} + 4 d x$

Bước 3

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$π (\int_{0}^{2} 9 x^{4} d x + \int_{0}^{2} 12 x^{2} d x + \int_{0}^{2} 4 d x)$

Bước 4

Vì $9$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $9$ ra khỏi tích phân.

$π (9 \int_{0}^{2} x^{4} d x + \int_{0}^{2} 12 x^{2} d x + \int_{0}^{2} 4 d x)$

Bước 5

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{4}$ đối với $x$ là $\frac{1}{5} x^{5}$ .

$π (9 (\frac{1}{5} x^{5}]_{0}^{2}) + \int_{0}^{2} 12 x^{2} d x + \int_{0}^{2} 4 d x)$

Bước 6

Kết hợp $\frac{1}{5}$ và $x^{5}$ .

$π (9 (\frac{x^{5}}{5}]_{0}^{2}) + \int_{0}^{2} 12 x^{2} d x + \int_{0}^{2} 4 d x)$

Bước 7

Vì $12$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $12$ ra khỏi tích phân.

$π (9 (\frac{x^{5}}{5}]_{0}^{2}) + 12 \int_{0}^{2} x^{2} d x + \int_{0}^{2} 4 d x)$

Bước 8

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{2}$ đối với $x$ là $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$π (9 (\frac{x^{5}}{5}]_{0}^{2}) + 12 (\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{2}) + \int_{0}^{2} 4 d x)$

Bước 9

Kết hợp $\frac{1}{3}$ và $x^{3}$ .

$π (9 (\frac{x^{5}}{5}]_{0}^{2}) + 12 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{2}) + \int_{0}^{2} 4 d x)$

Bước 10

Áp dụng quy tắc hằng số.

$π (9 (\frac{x^{5}}{5}]_{0}^{2}) + 12 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{2}) + 4 x]_{0}^{2})$

Bước 11

Thay và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1

Tính $\frac{x^{5}}{5}$ tại $2$ và tại $0$ .

$π (9 ((\frac{2^{5}}{5}) - \frac{0^{5}}{5}) + 12 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{2}) + 4 x]_{0}^{2})$

Bước 11.2

Tính $\frac{x^{3}}{3}$ tại $2$ và tại $0$ .

$π (9 (\frac{2^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5}) + 12 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 4 x]_{0}^{2})$

Bước 11.3

Tính $4 x$ tại $2$ và tại $0$ .

$π (9 (\frac{2^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5}) + 12 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + (4 \cdot 2) - 4 \cdot 0)$

Bước 11.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.4.1

Nâng $2$ lên lũy thừa $5$ .

$π (9 (\frac{32}{5} - \frac{0^{5}}{5}) + 12 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + (4 \cdot 2) - 4 \cdot 0)$

Bước 11.4.2

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$π (9 (\frac{32}{5} - \frac{0}{5}) + 12 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + (4 \cdot 2) - 4 \cdot 0)$

Bước 11.4.3

Triệt tiêu thừa số chung của $0$ và $5$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.4.3.1

Đưa $5$ ra ngoài $0$ .

$π (9 (\frac{32}{5} - \frac{5 (0)}{5}) + 12 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + (4 \cdot 2) - 4 \cdot 0)$

Bước 11.4.3.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.4.3.2.1

Đưa $5$ ra ngoài $5$ .

$π (9 (\frac{32}{5} - \frac{5 \cdot 0}{5 \cdot 1}) + 12 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + (4 \cdot 2) - 4 \cdot 0)$

Bước 11.4.3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$π (9 (\frac{32}{5} - \frac{5 \cdot 0}{5 \cdot 1}) + 12 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + (4 \cdot 2) - 4 \cdot 0)$

Bước 11.4.3.2.3

Viết lại biểu thức.

$π (9 (\frac{32}{5} - \frac{0}{1}) + 12 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + (4 \cdot 2) - 4 \cdot 0)$

Bước 11.4.3.2.4

Chia $0$ cho $1$ .

$π (9 (\frac{32}{5} - 0) + 12 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + (4 \cdot 2) - 4 \cdot 0)$

Bước 11.4.4

Nhân $- 1$ với $0$ .

$π (9 (\frac{32}{5} + 0) + 12 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + (4 \cdot 2) - 4 \cdot 0)$

Bước 11.4.5

Cộng $\frac{32}{5}$ và $0$ .

$π (9 (\frac{32}{5}) + 12 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + (4 \cdot 2) - 4 \cdot 0)$

Bước 11.4.6

Kết hợp $9$ và $\frac{32}{5}$ .

$π (\frac{9 \cdot 32}{5} + 12 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + (4 \cdot 2) - 4 \cdot 0)$

Bước 11.4.7

Nhân $9$ với $32$ .

$π (\frac{288}{5} + 12 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + (4 \cdot 2) - 4 \cdot 0)$

Bước 11.4.8

Nâng $2$ lên lũy thừa $3$ .

$π (\frac{288}{5} + 12 (\frac{8}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + (4 \cdot 2) - 4 \cdot 0)$

Bước 11.4.9

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$π (\frac{288}{5} + 12 (\frac{8}{3} - \frac{0}{3}) + (4 \cdot 2) - 4 \cdot 0)$

Bước 11.4.10

Triệt tiêu thừa số chung của $0$ và $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.4.10.1

Đưa $3$ ra ngoài $0$ .

$π (\frac{288}{5} + 12 (\frac{8}{3} - \frac{3 (0)}{3}) + (4 \cdot 2) - 4 \cdot 0)$

Bước 11.4.10.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.4.10.2.1

Đưa $3$ ra ngoài $3$ .

$π (\frac{288}{5} + 12 (\frac{8}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) + (4 \cdot 2) - 4 \cdot 0)$

Bước 11.4.10.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$π (\frac{288}{5} + 12 (\frac{8}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) + (4 \cdot 2) - 4 \cdot 0)$

Bước 11.4.10.2.3

Viết lại biểu thức.

$π (\frac{288}{5} + 12 (\frac{8}{3} - \frac{0}{1}) + (4 \cdot 2) - 4 \cdot 0)$

Bước 11.4.10.2.4

Chia $0$ cho $1$ .

$π (\frac{288}{5} + 12 (\frac{8}{3} - 0) + (4 \cdot 2) - 4 \cdot 0)$

Bước 11.4.11

Nhân $- 1$ với $0$ .

$π (\frac{288}{5} + 12 (\frac{8}{3} + 0) + (4 \cdot 2) - 4 \cdot 0)$

Bước 11.4.12

Cộng $\frac{8}{3}$ và $0$ .

$π (\frac{288}{5} + 12 (\frac{8}{3}) + (4 \cdot 2) - 4 \cdot 0)$

Bước 11.4.13

Kết hợp $12$ và $\frac{8}{3}$ .

$π (\frac{288}{5} + \frac{12 \cdot 8}{3} + (4 \cdot 2) - 4 \cdot 0)$

Bước 11.4.14

Nhân $12$ với $8$ .

$π (\frac{288}{5} + \frac{96}{3} + (4 \cdot 2) - 4 \cdot 0)$

Bước 11.4.15

Triệt tiêu thừa số chung của $96$ và $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.4.15.1

Đưa $3$ ra ngoài $96$ .

$π (\frac{288}{5} + \frac{3 \cdot 32}{3} + (4 \cdot 2) - 4 \cdot 0)$

Bước 11.4.15.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.4.15.2.1

Đưa $3$ ra ngoài $3$ .

$π (\frac{288}{5} + \frac{3 \cdot 32}{3 (1)} + (4 \cdot 2) - 4 \cdot 0)$

Bước 11.4.15.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$π (\frac{288}{5} + \frac{3 \cdot 32}{3 \cdot 1} + (4 \cdot 2) - 4 \cdot 0)$

Bước 11.4.15.2.3

Viết lại biểu thức.

$π (\frac{288}{5} + \frac{32}{1} + (4 \cdot 2) - 4 \cdot 0)$

Bước 11.4.15.2.4

Chia $32$ cho $1$ .

$π (\frac{288}{5} + 32 + (4 \cdot 2) - 4 \cdot 0)$

Bước 11.4.16

Để viết $32$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{5}{5}$ .

$π (\frac{288}{5} + 32 \cdot \frac{5}{5} + (4 \cdot 2) - 4 \cdot 0)$

Bước 11.4.17

Kết hợp $32$ và $\frac{5}{5}$ .

$π (\frac{288}{5} + \frac{32 \cdot 5}{5} + (4 \cdot 2) - 4 \cdot 0)$

Bước 11.4.18

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$π (\frac{288 + 32 \cdot 5}{5} + (4 \cdot 2) - 4 \cdot 0)$

Bước 11.4.19

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.4.19.1

Nhân $32$ với $5$ .

$π (\frac{288 + 160}{5} + (4 \cdot 2) - 4 \cdot 0)$

Bước 11.4.19.2

Cộng $288$ và $160$ .

$π (\frac{448}{5} + (4 \cdot 2) - 4 \cdot 0)$

Bước 11.4.20

Nhân $4$ với $2$ .

$π (\frac{448}{5} + 8 - 4 \cdot 0)$

Bước 11.4.21

Nhân $- 4$ với $0$ .

$π (\frac{448}{5} + 8 + 0)$

Bước 11.4.22

Cộng $8$ và $0$ .

$π (\frac{448}{5} + 8)$

Bước 11.4.23

Để viết $8$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{5}{5}$ .

$π (\frac{448}{5} + 8 \cdot \frac{5}{5})$

Bước 11.4.24

Kết hợp $8$ và $\frac{5}{5}$ .

$π (\frac{448}{5} + \frac{8 \cdot 5}{5})$

Bước 11.4.25

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$π \frac{448 + 8 \cdot 5}{5}$

Bước 11.4.26

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.4.26.1

Nhân $8$ với $5$ .

$π \frac{448 + 40}{5}$

Bước 11.4.26.2

Cộng $448$ và $40$ .

$π \frac{488}{5}$

Bước 11.4.27

Kết hợp $π$ và $\frac{488}{5}$ .

$\frac{π \cdot 488}{5}$

Bước 11.4.28

Di chuyển $488$ sang phía bên trái của $π$ .

$\frac{488 π}{5}$

Bước 12

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$\frac{488 π}{5}$

Dạng thập phân:

$306.61944299 \dots$

Bước 13