Giải tích Ví dụ

$\int_{0}^{2} \frac{1}{1 + (\frac{x^{2}}{4})} d x$

Bước 1

Không thể hoàn thành tích phân này bằng phương pháp thay thế u. Mathway sẽ sử dụng phương pháp khác.

Bước 2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Viết $1$ ở dạng một phân số với một mẫu số chung.

$\int_{0}^{2} \frac{1}{\frac{4}{4} + \frac{x^{2}}{4}} d x$

Bước 2.1.2

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\int_{0}^{2} \frac{1}{\frac{4 + x^{2}}{4}} d x$

Bước 2.2

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$\int_{0}^{2} 1 \frac{4}{4 + x^{2}} d x$

Bước 2.3

Nhân $\frac{4}{4 + x^{2}}$ với $1$ .

$\int_{0}^{2} \frac{4}{4 + x^{2}} d x$

Bước 3

Vì $4$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $4$ ra khỏi tích phân.

$4 \int_{0}^{2} \frac{1}{4 + x^{2}} d x$

Bước 4

Viết lại $4$ ở dạng $2^{2}$ .

$4 \int_{0}^{2} \frac{1}{2^{2} + x^{2}} d x$

Bước 5

Tích phân của $\frac{1}{2^{2} + x^{2}}$ đối với $x$ là $\frac{1}{2} \arctan (\frac{x}{2})]_{0}^{2}$ .

$4 (\frac{1}{2} \arctan (\frac{x}{2})]_{0}^{2})$

Bước 6

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $\arctan (\frac{x}{2})$ .

$4 (\frac{\arctan (\frac{x}{2})}{2}]_{0}^{2})$

Bước 6.2

Thay và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1

Tính $\frac{\arctan (\frac{x}{2})}{2}$ tại $2$ và tại $0$ .

$4 ((\frac{\arctan (\frac{2}{2})}{2}) - \frac{\arctan (\frac{0}{2})}{2})$

Bước 6.2.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$4 (\frac{\arctan (\frac{2}{2})}{2} - \frac{\arctan (\frac{0}{2})}{2})$

Bước 6.2.2.1.2

Viết lại biểu thức.

$4 (\frac{\arctan (1)}{2} - \frac{\arctan (\frac{0}{2})}{2})$

Bước 6.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung của $0$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.2.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $0$ .

$4 (\frac{\arctan (1)}{2} - \frac{\arctan (\frac{2 (0)}{2})}{2})$

Bước 6.2.2.2.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.2.2.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$4 (\frac{\arctan (1)}{2} - \frac{\arctan (\frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})}{2})$

Bước 6.2.2.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$4 (\frac{\arctan (1)}{2} - \frac{\arctan (\frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})}{2})$

Bước 6.2.2.2.2.3

Viết lại biểu thức.

$4 (\frac{\arctan (1)}{2} - \frac{\arctan (\frac{0}{1})}{2})$

Bước 6.2.2.2.2.4

Chia $0$ cho $1$ .

$4 (\frac{\arctan (1)}{2} - \frac{\arctan (0)}{2})$

Bước 7

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$4 \frac{\arctan (1) - \arctan (0)}{2}$

Bước 7.2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1

Giá trị chính xác của $\arctan (1)$ là $\frac{π}{4}$ .

$4 \frac{\frac{π}{4} - \arctan (0)}{2}$

Bước 7.2.2

Giá trị chính xác của $\arctan (0)$ là $0$ .

$4 \frac{\frac{π}{4} - 0}{2}$

Bước 7.2.3

Nhân $- 1$ với $0$ .

$4 \frac{\frac{π}{4} + 0}{2}$

Bước 7.3

Cộng $\frac{π}{4}$ và $0$ .

$4 \frac{\frac{π}{4}}{2}$

Bước 7.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.4.1

Đưa $2$ ra ngoài $4$ .

$2 (2) \frac{\frac{π}{4}}{2}$

Bước 7.4.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$2 \cdot 2 \frac{\frac{π}{4}}{2}$

Bước 7.4.3

Viết lại biểu thức.

$2 \frac{π}{4}$

Bước 7.5

Kết hợp $2$ và $\frac{π}{4}$ .

$\frac{2 π}{4}$

Bước 7.6

Triệt tiêu thừa số chung của $2$ và $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.6.1

Đưa $2$ ra ngoài $2 π$ .

$\frac{2 (π)}{4}$

Bước 7.6.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.6.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $4$ .

$\frac{2 π}{2 \cdot 2}$

Bước 7.6.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 π}{2 \cdot 2}$

Bước 7.6.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{π}{2}$

Bước 8

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$\frac{π}{2}$

Dạng thập phân:

$1.57079632 \dots$

Bước 9