Giải tích Ví dụ

$\int \frac{x^{9}}{1 + x^{20}} d x$

Bước 1

Viết lại $x^{20}$ ở dạng ${(x^{10})}^{2}$ .

$\int \frac{x^{9}}{1 + {(x^{10})}^{2}} d x$

Bước 2

Giả sử $u = x^{10}$ . Sau đó $d u = 10 x^{9} d x$ , nên $\frac{1}{10} d u = x^{9} d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Hãy đặt $u = x^{10}$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Tính đạo hàm $x^{10}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{10}]$

Bước 2.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 10$ .

$10 x^{9}$

Bước 2.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$\int \frac{1}{1 + u^{2}} \cdot \frac{1}{10} d u$

Bước 3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Nhân $\frac{1}{1 + u^{2}}$ với $\frac{1}{10}$ .

$\int \frac{1}{(1 + u^{2}) \cdot 10} d u$

Bước 3.2

Di chuyển $10$ sang phía bên trái của $1 + u^{2}$ .

$\int \frac{1}{10 (1 + u^{2})} d u$

Bước 4

Vì $\frac{1}{10}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{10}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{10} \int \frac{1}{1 + u^{2}} d u$

Bước 5

Viết lại $1$ ở dạng $1^{2}$ .

$\frac{1}{10} \int \frac{1}{1^{2} + u^{2}} d u$

Bước 6

Tích phân của $\frac{1}{1^{2} + u^{2}}$ đối với $u$ là $\arctan (u) + C$ .

$\frac{1}{10} (\arctan (u) + C)$

Bước 7

Rút gọn.

$\frac{1}{10} \arctan (u) + C$

Bước 8

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $x^{10}$ .

$\frac{1}{10} \arctan (x^{10}) + C$