Giải tích Ví dụ

$\int \frac{\sqrt{9 - x^{2}}}{x^{2}} d x$

Bước 1

Không thể hoàn thành tích phân này bằng phương pháp thay thế u. Mathway sẽ sử dụng phương pháp khác.

Bước 2

Giả sử $x = 3 \sin (t)$ , trong đó $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Sau đó $d x = 3 \cos (t) d t$ . Lưu ý rằng vì $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , nên $3 \cos (t)$ dương.

$\int \frac{\sqrt{9 - {(3 \sin (t))}^{2}}}{{(3 \sin (t))}^{2}} (3 \cos (t)) d t$

Bước 3

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Rút gọn $\sqrt{9 - {(3 \sin (t))}^{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1.1

Áp dụng quy tắc tích số cho $3 \sin (t)$ .

$\int \frac{\sqrt{9 - (3^{2} \sin^{2} (t))}}{{(3 \sin (t))}^{2}} (3 \cos (t)) d t$

Bước 3.1.1.2

Nâng $3$ lên lũy thừa $2$ .

$\int \frac{\sqrt{9 - (9 \sin^{2} (t))}}{{(3 \sin (t))}^{2}} (3 \cos (t)) d t$

Bước 3.1.1.3

Nhân $9$ với $- 1$ .

$\int \frac{\sqrt{9 - 9 \sin^{2} (t)}}{{(3 \sin (t))}^{2}} (3 \cos (t)) d t$

Bước 3.1.2

Đưa $9$ ra ngoài $9$ .

$\int \frac{\sqrt{9 (1) - 9 \sin^{2} (t)}}{{(3 \sin (t))}^{2}} (3 \cos (t)) d t$

Bước 3.1.3

Đưa $9$ ra ngoài $- 9 \sin^{2} (t)$ .

$\int \frac{\sqrt{9 (1) + 9 (- \sin^{2} (t))}}{{(3 \sin (t))}^{2}} (3 \cos (t)) d t$

Bước 3.1.4

Đưa $9$ ra ngoài $9 (1) + 9 (- \sin^{2} (t))$ .

$\int \frac{\sqrt{9 (1 - \sin^{2} (t))}}{{(3 \sin (t))}^{2}} (3 \cos (t)) d t$

Bước 3.1.5

Áp dụng đẳng thức pytago.

$\int \frac{\sqrt{9 \cos^{2} (t)}}{{(3 \sin (t))}^{2}} (3 \cos (t)) d t$

Bước 3.1.6

Viết lại $9 \cos^{2} (t)$ ở dạng ${(3 \cos (t))}^{2}$ .

$\int \frac{\sqrt{{(3 \cos (t))}^{2}}}{{(3 \sin (t))}^{2}} (3 \cos (t)) d t$

Bước 3.1.7

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực dương.

$\int \frac{3 \cos (t)}{{(3 \sin (t))}^{2}} (3 \cos (t)) d t$

Bước 3.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Đưa $3$ ra ngoài $3 \sin (t)$ .

$\int \frac{3 \cos (t)}{{(3 (\sin (t)))}^{2}} (3 \cos (t)) d t$

Bước 3.2.2

Áp dụng quy tắc tích số cho $3 (\sin (t))$ .

$\int \frac{3 \cos (t)}{3^{2} \sin^{2} (t)} (3 \cos (t)) d t$

Bước 3.2.3

Nâng $3$ lên lũy thừa $2$ .

$\int \frac{3 \cos (t)}{9 \sin^{2} (t)} (3 \cos (t)) d t$

Bước 3.2.4

Triệt tiêu thừa số chung của $3$ và $9$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.4.1

Đưa $3$ ra ngoài $3 \cos (t)$ .

$\int \frac{3 (\cos (t))}{9 \sin^{2} (t)} (3 \cos (t)) d t$

Bước 3.2.4.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.4.2.1

Đưa $3$ ra ngoài $9 \sin^{2} (t)$ .

$\int \frac{3 (\cos (t))}{3 (3 \sin^{2} (t))} (3 \cos (t)) d t$

Bước 3.2.4.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\int \frac{3 \cos (t)}{3 (3 \sin^{2} (t))} (3 \cos (t)) d t$

Bước 3.2.4.2.3

Viết lại biểu thức.

$\int \frac{\cos (t)}{3 \sin^{2} (t)} (3 \cos (t)) d t$

Bước 3.2.5

Kết hợp $3$ và $\frac{\cos (t)}{3 \sin^{2} (t)}$ .

$\int \frac{3 \cos (t)}{3 \sin^{2} (t)} \cos (t) d t$

Bước 3.2.6

Kết hợp $\frac{3 \cos (t)}{3 \sin^{2} (t)}$ và $\cos (t)$ .

$\int \frac{3 \cos (t) \cos (t)}{3 \sin^{2} (t)} d t$

Bước 3.2.7

Nâng $\cos (t)$ lên lũy thừa $1$ .

$\int \frac{3 (\cos^{1} (t) \cos (t))}{3 \sin^{2} (t)} d t$

Bước 3.2.8

Nâng $\cos (t)$ lên lũy thừa $1$ .

$\int \frac{3 (\cos^{1} (t) \cos^{1} (t))}{3 \sin^{2} (t)} d t$

Bước 3.2.9

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\int \frac{3 {\cos (t)}^{1 + 1}}{3 \sin^{2} (t)} d t$

Bước 3.2.10

Cộng $1$ và $1$ .

$\int \frac{3 \cos^{2} (t)}{3 \sin^{2} (t)} d t$

Bước 3.2.11

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.11.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\int \frac{3 \cos^{2} (t)}{3 \sin^{2} (t)} d t$

Bước 3.2.11.2

Viết lại biểu thức.

$\int \frac{\cos^{2} (t)}{\sin^{2} (t)} d t$

Bước 3.2.12

Quy đổi từ $\frac{\cos^{2} (t)}{\sin^{2} (t)}$ sang $\cot^{2} (t)$ .

$\int \cot^{2} (t) d t$

Bước 4

Sử dụng đẳng thức Pytago, viết lại $\cot^{2} (t)$ ở dạng $- 1 + \csc^{2} (t)$ .

$\int - 1 + \csc^{2} (t) d t$

Bước 5

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\int - 1 d t + \int \csc^{2} (t) d t$

Bước 6

Áp dụng quy tắc hằng số.

$- t + C + \int \csc^{2} (t) d t$

Bước 7

Vì đạo hàm của $- \cot (t)$ là $\csc^{2} (t)$ , tích phân của $\csc^{2} (t)$ là $- \cot (t)$ .

$- t + C - \cot (t) + C$

Bước 8

Rút gọn.

$- t - \cot (t) + C$

Bước 9

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $t$ với $\arcsin (\frac{x}{3})$ .

$- \arcsin (\frac{x}{3}) - \cot (\arcsin (\frac{x}{3})) + C$

Bước 10

Sắp xếp lại các số hạng.

$- \arcsin (\frac{1}{3} x) - \cot (\arcsin (\frac{1}{3} x)) + C$