Giải tích Ví dụ

$\int_{0}^{4} \frac{x}{\sqrt{1 + 2 x}} d x$

Bước 1

Giả sử $u = 1 + 2 x$ . Sau đó $d u = 2 d x$ , nên $\frac{1}{2} d u = d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Hãy đặt $u = 1 + 2 x$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Tính đạo hàm $1 + 2 x$ .

$\frac{d}{d x} [1 + 2 x]$

Bước 1.1.2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $1 + 2 x$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [2 x]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [2 x]$

Bước 1.1.2.2

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [2 x]$

Bước 1.1.3

Tính $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.3.1

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 x$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 + 2 \frac{d}{d x} [x]$

Bước 1.1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$0 + 2 \cdot 1$

Bước 1.1.3.3

Nhân $2$ với $1$ .

$0 + 2$

Bước 1.1.4

Cộng $0$ và $2$ .

$2$

Bước 1.2

Thay giới hạn dưới vào cho $x$ trong $u = 1 + 2 x$ .

$u_{lower} = 1 + 2 \cdot 0$

Bước 1.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Nhân $2$ với $0$ .

$u_{lower} = 1 + 0$

Bước 1.3.2

Cộng $1$ và $0$ .

$u_{lower} = 1$

Bước 1.4

Thay giới hạn trên vào cho $x$ trong $u = 1 + 2 x$ .

$u_{upper} = 1 + 2 \cdot 4$

Bước 1.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.1

Nhân $2$ với $4$ .

$u_{upper} = 1 + 8$

Bước 1.5.2

Cộng $1$ và $8$ .

$u_{upper} = 9$

Bước 1.6

Các giá trị tìm được cho $u_{lower}$ và $u_{upper}$ sẽ được sử dụng để tính tích phân xác định.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 9$

Bước 1.7

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ , $d u$ , và các giới hạn mới của phép tích phân.

$\int_{1}^{9} \frac{\frac{u}{2} - \frac{1}{2}}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2} d u$

Bước 2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Nhân $\frac{\frac{u}{2} - \frac{1}{2}}{\sqrt{u}}$ với $\frac{2}{2}$ .

$\int_{1}^{9} \frac{2}{2} \cdot \frac{\frac{u}{2} - \frac{1}{2}}{\sqrt{u}} \frac{1}{2} d u$

Bước 2.2

Kết hợp.

$\int_{1}^{9} \frac{2 (\frac{u}{2} - \frac{1}{2})}{2 \sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2} d u$

Bước 2.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\int_{1}^{9} \frac{2 \frac{u}{2} + 2 (- \frac{1}{2})}{2 \sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2} d u$

Bước 2.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\int_{1}^{9} \frac{2 \frac{u}{2} + 2 (- \frac{1}{2})}{2 \sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2} d u$

Bước 2.4.2

Viết lại biểu thức.

$\int_{1}^{9} \frac{u + 2 (- \frac{1}{2})}{2 \sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2} d u$

Bước 2.5

Nhân $- 1$ với $2$ .

$\int_{1}^{9} \frac{u - 2 (\frac{1}{2})}{2 \sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2} d u$

Bước 2.6

Kết hợp $- 2$ và $\frac{1}{2}$ .

$\int_{1}^{9} \frac{u + \frac{- 2}{2}}{2 \sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2} d u$

Bước 2.7

Triệt tiêu thừa số chung của $- 2$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.7.1

Đưa $2$ ra ngoài $- 2$ .

$\int_{1}^{9} \frac{u + \frac{2 \cdot - 1}{2}}{2 \sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2} d u$

Bước 2.7.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.7.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$\int_{1}^{9} \frac{u + \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)}}{2 \sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2} d u$

Bước 2.7.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\int_{1}^{9} \frac{u + \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1}}{2 \sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2} d u$

Bước 2.7.2.3

Viết lại biểu thức.

$\int_{1}^{9} \frac{u + \frac{- 1}{1}}{2 \sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2} d u$

Bước 2.7.2.4

Chia $- 1$ cho $1$ .

$\int_{1}^{9} \frac{u - 1}{2 \sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2} d u$

Bước 2.8

Nhân $\frac{u - 1}{2 \sqrt{u}}$ với $\frac{1}{2}$ .

$\int_{1}^{9} \frac{u - 1}{2 \sqrt{u} \cdot 2} d u$

Bước 2.9

Nhân $2$ với $2$ .

$\int_{1}^{9} \frac{u - 1}{4 \sqrt{u}} d u$

Bước 3

Vì $\frac{1}{4}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{4}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{4} \int_{1}^{9} \frac{u - 1}{\sqrt{u}} d u$

Bước 4

Áp dụng các quy tắc số mũ cơ bản.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{u}$ ở dạng $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{4} \int_{1}^{9} \frac{u - 1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

Bước 4.2

Di chuyển $u^{\frac{1}{2}}$ ra ngoài mẫu số bằng cách nâng nó lên lũy thừa $- 1$ .

$\frac{1}{4} \int_{1}^{9} (u - 1) {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

Bước 4.3

Nhân các số mũ trong ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{4} \int_{1}^{9} (u - 1) u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

Bước 4.3.2

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $- 1$ .

$\frac{1}{4} \int_{1}^{9} (u - 1) u^{\frac{- 1}{2}} d u$

Bước 4.3.3

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{1}{4} \int_{1}^{9} (u - 1) u^{- \frac{1}{2}} d u$

Bước 5

Khai triển $(u - 1) u^{- \frac{1}{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{1}{4} \int_{1}^{9} u \cdot u^{- \frac{1}{2}} - 1 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Bước 5.2

Nâng $u$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{1}{4} \int_{1}^{9} u^{1} u^{- \frac{1}{2}} - 1 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Bước 5.3

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{1}{4} \int_{1}^{9} u^{1 - \frac{1}{2}} - 1 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Bước 5.4

Viết $1$ ở dạng một phân số với một mẫu số chung.

$\frac{1}{4} \int_{1}^{9} u^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}} - 1 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Bước 5.5

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{1}{4} \int_{1}^{9} u^{\frac{2 - 1}{2}} - 1 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Bước 5.6

Trừ $1$ khỏi $2$ .

$\frac{1}{4} \int_{1}^{9} u^{\frac{1}{2}} - 1 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Bước 6

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\frac{1}{4} (\int_{1}^{9} u^{\frac{1}{2}} d u + \int_{1}^{9} - 1 u^{- \frac{1}{2}} d u)$

Bước 7

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u^{\frac{1}{2}}$ đối với $u$ là $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{4} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{1}^{9} + \int_{1}^{9} - 1 u^{- \frac{1}{2}} d u)$

Bước 8

Vì $- 1$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{4} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{1}^{9} - \int_{1}^{9} u^{- \frac{1}{2}} d u)$

Bước 9

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u^{- \frac{1}{2}}$ đối với $u$ là $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{4} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{1}^{9} - (2 u^{\frac{1}{2}}]_{1}^{9}))$

Bước 10

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Tính $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ tại $9$ và tại $1$ .

$\frac{1}{4} ((\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - (2 u^{\frac{1}{2}}]_{1}^{9}))$

Bước 10.2

Tính $2 u^{\frac{1}{2}}$ tại $9$ và tại $1$ .

$\frac{1}{4} (\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - (2 \cdot 9^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}))$

Bước 10.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.3.1

Viết lại $9$ ở dạng $3^{2}$ .

$\frac{1}{4} (\frac{2}{3} \cdot {(3^{2})}^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - (2 \cdot 9^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}))$

Bước 10.3.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{4} (\frac{2}{3} \cdot 3^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - (2 \cdot 9^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}))$

Bước 10.3.3

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.3.3.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{4} (\frac{2}{3} \cdot 3^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - (2 \cdot 9^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}))$

Bước 10.3.3.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{4} (\frac{2}{3} \cdot 3^{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - (2 \cdot 9^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}))$

Bước 10.3.4

Nâng $3$ lên lũy thừa $3$ .

$\frac{1}{4} (\frac{2}{3} \cdot 27 - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - (2 \cdot 9^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}))$

Bước 10.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.4.1

Kết hợp $\frac{2}{3}$ và $27$ .

$\frac{1}{4} (\frac{2 \cdot 27}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - (2 \cdot 9^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}))$

Bước 10.4.2

Nhân $2$ với $27$ .

$\frac{1}{4} (\frac{54}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - (2 \cdot 9^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}))$

Bước 10.4.3

Triệt tiêu thừa số chung của $54$ và $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.4.3.1

Đưa $3$ ra ngoài $54$ .

$\frac{1}{4} (\frac{3 \cdot 18}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - (2 \cdot 9^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}))$

Bước 10.4.3.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.4.3.2.1

Đưa $3$ ra ngoài $3$ .

$\frac{1}{4} (\frac{3 \cdot 18}{3 (1)} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - (2 \cdot 9^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}))$

Bước 10.4.3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{4} (\frac{3 \cdot 18}{3 \cdot 1} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - (2 \cdot 9^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}))$

Bước 10.4.3.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{4} (\frac{18}{1} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - (2 \cdot 9^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}))$

Bước 10.4.3.2.4

Chia $18$ cho $1$ .

$\frac{1}{4} (18 - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - (2 \cdot 9^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}))$

Bước 10.5

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.5.1

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$\frac{1}{4} (18 - \frac{2}{3} \cdot 1 - (2 \cdot 9^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}))$

Bước 10.5.2

Nhân $- 1$ với $1$ .

$\frac{1}{4} (18 - \frac{2}{3} - (2 \cdot 9^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}))$

Bước 10.6

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.6.1

Để viết $18$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{4} (18 \cdot \frac{3}{3} - \frac{2}{3} - (2 \cdot 9^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}))$

Bước 10.6.2

Kết hợp $18$ và $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{4} (\frac{18 \cdot 3}{3} - \frac{2}{3} - (2 \cdot 9^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}))$

Bước 10.6.3

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{1}{4} (\frac{18 \cdot 3 - 2}{3} - (2 \cdot 9^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}))$

Bước 10.6.4

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.6.4.1

Nhân $18$ với $3$ .

$\frac{1}{4} (\frac{54 - 2}{3} - (2 \cdot 9^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}))$

Bước 10.6.4.2

Trừ $2$ khỏi $54$ .

$\frac{1}{4} (\frac{52}{3} - (2 \cdot 9^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}))$

Bước 10.7

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.7.1

Viết lại $9$ ở dạng $3^{2}$ .

$\frac{1}{4} (\frac{52}{3} - (2 \cdot {(3^{2})}^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}))$

Bước 10.7.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{4} (\frac{52}{3} - (2 \cdot 3^{2 (\frac{1}{2})} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}))$

Bước 10.7.3

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.7.3.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{4} (\frac{52}{3} - (2 \cdot 3^{2 (\frac{1}{2})} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}))$

Bước 10.7.3.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{4} (\frac{52}{3} - (2 \cdot 3^{1} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}))$

Bước 10.7.4

Tính số mũ.

$\frac{1}{4} (\frac{52}{3} - (2 \cdot 3 - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}))$

Bước 10.8

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.8.1

Nhân $2$ với $3$ .

$\frac{1}{4} (\frac{52}{3} - (6 - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}))$

Bước 10.8.2

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$\frac{1}{4} (\frac{52}{3} - (6 - 2 \cdot 1))$

Bước 10.8.3

Nhân $- 2$ với $1$ .

$\frac{1}{4} (\frac{52}{3} - (6 - 2))$

Bước 10.8.4

Trừ $2$ khỏi $6$ .

$\frac{1}{4} (\frac{52}{3} - 1 \cdot 4)$

Bước 10.8.5

Nhân $- 1$ với $4$ .

$\frac{1}{4} (\frac{52}{3} - 4)$

Bước 10.9

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.9.1

Để viết $- 4$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{4} (\frac{52}{3} - 4 \cdot \frac{3}{3})$

Bước 10.9.2

Kết hợp $- 4$ và $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{4} (\frac{52}{3} + \frac{- 4 \cdot 3}{3})$

Bước 10.9.3

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{52 - 4 \cdot 3}{3}$

Bước 10.9.4

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.9.4.1

Nhân $- 4$ với $3$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{52 - 12}{3}$

Bước 10.9.4.2

Trừ $12$ khỏi $52$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{40}{3}$

Bước 10.10

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.10.1

Nhân $\frac{1}{4}$ với $\frac{40}{3}$ .

$\frac{40}{4 \cdot 3}$

Bước 10.10.2

Nhân $4$ với $3$ .

$\frac{40}{12}$

Bước 10.10.3

Triệt tiêu thừa số chung của $40$ và $12$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.10.3.1

Đưa $4$ ra ngoài $40$ .

$\frac{4 (10)}{12}$

Bước 10.10.3.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.10.3.2.1

Đưa $4$ ra ngoài $12$ .

$\frac{4 \cdot 10}{4 \cdot 3}$

Bước 10.10.3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{4 \cdot 10}{4 \cdot 3}$

Bước 10.10.3.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{10}{3}$

Bước 11

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$\frac{10}{3}$

Dạng thập phân:

$3.\overline{3}$

Dạng hỗn số:

$3 \frac{1}{3}$