Giải tích Ví dụ

$\int_{0}^{1} \frac{r^{3}}{\sqrt{4 + r^{2}}} d r$

Bước 1

Giả sử $u = 4 + r^{2}$ . Sau đó $d u = 2 r d r$ , nên $\frac{1}{2} d u = r d r$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Hãy đặt $u = 4 + r^{2}$ . Tìm $\frac{d u}{d r}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Tính đạo hàm $4 + r^{2}$ .

$\frac{d}{d r} [4 + r^{2}]$

Bước 1.1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $4 + r^{2}$ đối với $r$ là $\frac{d}{d r} [4] + \frac{d}{d r} [r^{2}]$ .

$\frac{d}{d r} [4] + \frac{d}{d r} [r^{2}]$

Bước 1.1.3

Vì $4$ là hằng số đối với $r$ , đạo hàm của $4$ đối với $r$ là $0$ .

$0 + \frac{d}{d r} [r^{2}]$

Bước 1.1.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ là $n r^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$0 + 2 r$

Bước 1.1.5

Cộng $0$ và $2 r$ .

$2 r$

Bước 1.2

Thay giới hạn dưới vào cho $r$ trong $u = 4 + r^{2}$ .

$u_{lower} = 4 + 0^{2}$

Bước 1.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$u_{lower} = 4 + 0$

Bước 1.3.2

Cộng $4$ và $0$ .

$u_{lower} = 4$

Bước 1.4

Thay giới hạn trên vào cho $r$ trong $u = 4 + r^{2}$ .

$u_{upper} = 4 + 1^{2}$

Bước 1.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.1

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$u_{upper} = 4 + 1$

Bước 1.5.2

Cộng $4$ và $1$ .

$u_{upper} = 5$

Bước 1.6

Các giá trị tìm được cho $u_{lower}$ và $u_{upper}$ sẽ được sử dụng để tính tích phân xác định.

$u_{lower} = 4$

$u_{upper} = 5$

Bước 1.7

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ , $d u$ , và các giới hạn mới của phép tích phân.

$\int_{4}^{5} \frac{{\sqrt{u - 4}}^{2}}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2} d u$

Bước 2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Viết lại ${\sqrt{u - 4}}^{2}$ ở dạng $u - 4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{u - 4}$ ở dạng ${(u - 4)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\int_{4}^{5} \frac{{({(u - 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2} d u$

Bước 2.1.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int_{4}^{5} \frac{{(u - 4)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2} d u$

Bước 2.1.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $2$ .

$\int_{4}^{5} \frac{{(u - 4)}^{\frac{2}{2}}}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2} d u$

Bước 2.1.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\int_{4}^{5} \frac{{(u - 4)}^{\frac{2}{2}}}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2} d u$

Bước 2.1.4.2

Viết lại biểu thức.

$\int_{4}^{5} \frac{{(u - 4)}^{1}}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2} d u$

Bước 2.1.5

Rút gọn.

$\int_{4}^{5} \frac{u - 4}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2} d u$

Bước 2.2

Nhân $\frac{u - 4}{\sqrt{u}}$ với $\frac{1}{2}$ .

$\int_{4}^{5} \frac{u - 4}{\sqrt{u} \cdot 2} d u$

Bước 2.3

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $\sqrt{u}$ .

$\int_{4}^{5} \frac{u - 4}{2 \sqrt{u}} d u$

Bước 3

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{2} \int_{4}^{5} \frac{u - 4}{\sqrt{u}} d u$

Bước 4

Áp dụng các quy tắc số mũ cơ bản.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{u}$ ở dạng $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} \int_{4}^{5} \frac{u - 4}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

Bước 4.2

Di chuyển $u^{\frac{1}{2}}$ ra ngoài mẫu số bằng cách nâng nó lên lũy thừa $- 1$ .

$\frac{1}{2} \int_{4}^{5} (u - 4) {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

Bước 4.3

Nhân các số mũ trong ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} \int_{4}^{5} (u - 4) u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

Bước 4.3.2

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $- 1$ .

$\frac{1}{2} \int_{4}^{5} (u - 4) u^{\frac{- 1}{2}} d u$

Bước 4.3.3

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{1}{2} \int_{4}^{5} (u - 4) u^{- \frac{1}{2}} d u$

Bước 5

Khai triển $(u - 4) u^{- \frac{1}{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{1}{2} \int_{4}^{5} u \cdot u^{- \frac{1}{2}} - 4 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Bước 5.2

Nâng $u$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{1}{2} \int_{4}^{5} u^{1} u^{- \frac{1}{2}} - 4 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Bước 5.3

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{1}{2} \int_{4}^{5} u^{1 - \frac{1}{2}} - 4 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Bước 5.4

Viết $1$ ở dạng một phân số với một mẫu số chung.

$\frac{1}{2} \int_{4}^{5} u^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}} - 4 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Bước 5.5

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{1}{2} \int_{4}^{5} u^{\frac{2 - 1}{2}} - 4 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Bước 5.6

Trừ $1$ khỏi $2$ .

$\frac{1}{2} \int_{4}^{5} u^{\frac{1}{2}} - 4 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Bước 6

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\frac{1}{2} (\int_{4}^{5} u^{\frac{1}{2}} d u + \int_{4}^{5} - 4 u^{- \frac{1}{2}} d u)$

Bước 7

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u^{\frac{1}{2}}$ đối với $u$ là $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{4}^{5} + \int_{4}^{5} - 4 u^{- \frac{1}{2}} d u)$

Bước 8

Vì $- 4$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $- 4$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{2} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{4}^{5} - 4 \int_{4}^{5} u^{- \frac{1}{2}} d u)$

Bước 9

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u^{- \frac{1}{2}}$ đối với $u$ là $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{4}^{5} - 4 (2 u^{\frac{1}{2}}]_{4}^{5}))$

Bước 10

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Tính $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ tại $5$ và tại $4$ .

$\frac{1}{2} ((\frac{2}{3} \cdot 5^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}} - 4 (2 u^{\frac{1}{2}}]_{4}^{5}))$

Bước 10.2

Tính $2 u^{\frac{1}{2}}$ tại $5$ và tại $4$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2}{3} \cdot 5^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}} - 4 (2 \cdot 5^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}}))$

Bước 10.3

Kết hợp $\frac{2}{3}$ và $5^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2 \cdot 5^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}} - 4 (2 \cdot 5^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}}))$

Bước 10.4

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.4.1

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.4.1.1

Viết lại $4$ ở dạng $2^{2}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2 \cdot 5^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot {(2^{2})}^{\frac{3}{2}} - 4 (2 \cdot 5^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}}))$

Bước 10.4.1.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2 \cdot 5^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})} - 4 (2 \cdot 5^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}}))$

Bước 10.4.1.3

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.4.1.3.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{2} (\frac{2 \cdot 5^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})} - 4 (2 \cdot 5^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}}))$

Bước 10.4.1.3.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{2} (\frac{2 \cdot 5^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 2^{3} - 4 (2 \cdot 5^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}}))$

Bước 10.4.1.4

Nâng $2$ lên lũy thừa $3$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2 \cdot 5^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 8 - 4 (2 \cdot 5^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}}))$

Bước 10.4.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.4.2.1

Nhân $8$ với $- 1$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2 \cdot 5^{\frac{3}{2}}}{3} - 8 (\frac{2}{3}) - 4 (2 \cdot 5^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}}))$

Bước 10.4.2.2

Kết hợp $- 8$ và $\frac{2}{3}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2 \cdot 5^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{- 8 \cdot 2}{3} - 4 (2 \cdot 5^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}}))$

Bước 10.4.2.3

Nhân $- 8$ với $2$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2 \cdot 5^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{- 16}{3} - 4 (2 \cdot 5^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}}))$

Bước 10.4.2.4

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{1}{2} (\frac{2 \cdot 5^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{16}{3} - 4 (2 \cdot 5^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}}))$

Bước 10.4.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.4.3.1

Viết lại $4$ ở dạng $2^{2}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2 \cdot 5^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{16}{3} - 4 (2 \cdot 5^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot {(2^{2})}^{\frac{1}{2}}))$

Bước 10.4.3.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2 \cdot 5^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{16}{3} - 4 (2 \cdot 5^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 2^{2 (\frac{1}{2})}))$

Bước 10.4.3.3

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.4.3.3.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{2} (\frac{2 \cdot 5^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{16}{3} - 4 (2 \cdot 5^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 2^{2 (\frac{1}{2})}))$

Bước 10.4.3.3.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{2} (\frac{2 \cdot 5^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{16}{3} - 4 (2 \cdot 5^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 2^{1}))$

Bước 10.4.3.4

Tính số mũ.

$\frac{1}{2} (\frac{2 \cdot 5^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{16}{3} - 4 (2 \cdot 5^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 2))$

Bước 10.4.4

Nhân $- 2$ với $2$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2 \cdot 5^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{16}{3} - 4 (2 \cdot 5^{\frac{1}{2}} - 4))$

Bước 10.4.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.4.5.1

Để viết $- 4 (2 \cdot 5^{\frac{1}{2}} - 4)$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2 \cdot 5^{\frac{3}{2}}}{3} - 4 (2 \cdot 5^{\frac{1}{2}} - 4) \cdot \frac{3}{3} - \frac{16}{3})$

Bước 10.4.5.2

Kết hợp $- 4 (2 \cdot 5^{\frac{1}{2}} - 4)$ và $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2 \cdot 5^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{- 4 (2 \cdot 5^{\frac{1}{2}} - 4) \cdot 3}{3} - \frac{16}{3})$

Bước 10.4.5.3

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{1}{2} (\frac{2 \cdot 5^{\frac{3}{2}} - 4 (2 \cdot 5^{\frac{1}{2}} - 4) \cdot 3}{3} - \frac{16}{3})$

Bước 10.4.5.4

Nhân $3$ với $- 4$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2 \cdot 5^{\frac{3}{2}} - 12 (2 \cdot 5^{\frac{1}{2}} - 4)}{3} - \frac{16}{3})$

Bước 11

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$\frac{1}{2} \cdot (\frac{2 \cdot 5^{\frac{3}{2}} - 12 (2 \cdot 5^{\frac{1}{2}} - 4)}{3} - \frac{16}{3})$

Dạng thập phân:

$0.11584138 \dots$