Giải tích Ví dụ

$\int x \sqrt{4 x + 1} d x$

Bước 1

Giả sử $u = 4 x + 1$ . Sau đó $d u = 4 d x$ , nên $\frac{1}{4} d u = d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Hãy đặt $u = 4 x + 1$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Tính đạo hàm $4 x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [4 x + 1]$

Bước 1.1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $4 x + 1$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Bước 1.1.3

Tính $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.3.1

Vì $4$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $4 x$ đối với $x$ là $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Bước 1.1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

Bước 1.1.3.3

Nhân $4$ với $1$ .

$4 + \frac{d}{d x} [1]$

Bước 1.1.4

Tìm đạo hàm bằng quy tắc hằng số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.4.1

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$4 + 0$

Bước 1.1.4.2

Cộng $4$ và $0$ .

$4$

Bước 1.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$\int (\frac{u}{4} - \frac{1}{4}) \sqrt{u} \frac{1}{4} d u$

Bước 2

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Kết hợp $\frac{1}{4}$ và $\sqrt{u}$ .

$\int (\frac{u}{4} - \frac{1}{4}) \frac{\sqrt{u}}{4} d u$

Bước 2.2

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{u}$ ở dạng $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\int (\frac{u}{4} - \frac{1}{4}) \frac{u^{\frac{1}{2}}}{4} d u$

Bước 3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\int \frac{u}{4} \cdot \frac{u^{\frac{1}{2}}}{4} - \frac{1}{4} \cdot \frac{u^{\frac{1}{2}}}{4} d u$

Bước 3.2

Nhân $\frac{u}{4}$ với $\frac{u^{\frac{1}{2}}}{4}$ .

$\int \frac{u \cdot u^{\frac{1}{2}}}{4 \cdot 4} - \frac{1}{4} \cdot \frac{u^{\frac{1}{2}}}{4} d u$

Bước 3.3

Nâng $u$ lên lũy thừa $1$ .

$\int \frac{u^{1} u^{\frac{1}{2}}}{4 \cdot 4} - \frac{1}{4} \cdot \frac{u^{\frac{1}{2}}}{4} d u$

Bước 3.4

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\int \frac{u^{1 + \frac{1}{2}}}{4 \cdot 4} - \frac{1}{4} \cdot \frac{u^{\frac{1}{2}}}{4} d u$

Bước 3.5

Viết $1$ ở dạng một phân số với một mẫu số chung.

$\int \frac{u^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}}{4 \cdot 4} - \frac{1}{4} \cdot \frac{u^{\frac{1}{2}}}{4} d u$

Bước 3.6

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\int \frac{u^{\frac{2 + 1}{2}}}{4 \cdot 4} - \frac{1}{4} \cdot \frac{u^{\frac{1}{2}}}{4} d u$

Bước 3.7

Cộng $2$ và $1$ .

$\int \frac{u^{\frac{3}{2}}}{4 \cdot 4} - \frac{1}{4} \cdot \frac{u^{\frac{1}{2}}}{4} d u$

Bước 3.8

Nhân $4$ với $4$ .

$\int \frac{u^{\frac{3}{2}}}{16} - \frac{1}{4} \cdot \frac{u^{\frac{1}{2}}}{4} d u$

Bước 3.9

Kết hợp $- \frac{1}{4}$ và $\frac{u^{\frac{1}{2}}}{4}$ .

$\int \frac{u^{\frac{3}{2}}}{16} - \frac{u^{\frac{1}{2}}}{4 \cdot 4} d u$

Bước 3.10

Nhân $4$ với $4$ .

$\int \frac{u^{\frac{3}{2}}}{16} - \frac{u^{\frac{1}{2}}}{16} d u$

Bước 4

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\int \frac{u^{\frac{3}{2}}}{16} d u + \int - \frac{u^{\frac{1}{2}}}{16} d u$

Bước 5

Vì $\frac{1}{16}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{16}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{16} \int u^{\frac{3}{2}} d u + \int - \frac{u^{\frac{1}{2}}}{16} d u$

Bước 6

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u^{\frac{3}{2}}$ đối với $u$ là $\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}$ .

$\frac{1}{16} (\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C) + \int - \frac{u^{\frac{1}{2}}}{16} d u$

Bước 7

Vì $- 1$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{16} (\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C) - \int \frac{u^{\frac{1}{2}}}{16} d u$

Bước 8

Vì $\frac{1}{16}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{16}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{16} (\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C) - (\frac{1}{16} \int u^{\frac{1}{2}} d u)$

Bước 9

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u^{\frac{1}{2}}$ đối với $u$ là $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{16} (\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C) - \frac{1}{16} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$

Bước 10

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Rút gọn.

$\frac{1}{16} \cdot \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} - \frac{1}{16} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

Bước 10.2

Viết lại $\frac{1}{16} \cdot \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} - \frac{1}{16} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$ ở dạng $\frac{1}{40} u^{\frac{5}{2}} - \frac{1}{16} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$ .

$\frac{1}{40} u^{\frac{5}{2}} - \frac{1}{16} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

Bước 10.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.3.1

Nhân $\frac{2}{3}$ với $\frac{1}{16}$ .

$\frac{1}{40} u^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{3 \cdot 16} u^{\frac{3}{2}} + C$

Bước 10.3.2

Nhân $3$ với $16$ .

$\frac{1}{40} u^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{48} u^{\frac{3}{2}} + C$

Bước 10.3.3

Triệt tiêu thừa số chung của $2$ và $48$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.3.3.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$\frac{1}{40} u^{\frac{5}{2}} - \frac{2 (1)}{48} u^{\frac{3}{2}} + C$

Bước 10.3.3.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.3.3.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $48$ .

$\frac{1}{40} u^{\frac{5}{2}} - \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 24} u^{\frac{3}{2}} + C$

Bước 10.3.3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{40} u^{\frac{5}{2}} - \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 24} u^{\frac{3}{2}} + C$

Bước 10.3.3.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{40} u^{\frac{5}{2}} - \frac{1}{24} u^{\frac{3}{2}} + C$

Bước 11

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $4 x + 1$ .

$\frac{1}{40} {(4 x + 1)}^{\frac{5}{2}} - \frac{1}{24} {(4 x + 1)}^{\frac{3}{2}} + C$