Giải tích Ví dụ

$\int_{e}^{e^{4}} \frac{1}{x \sqrt{\ln (x)}} d x$

Bước 1

Giả sử $u = \ln (x)$ . Sau đó $d u = \frac{1}{x} d x$ , nên $x d u = d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Hãy đặt $u = \ln (x)$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Tính đạo hàm $\ln (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Bước 1.1.2

Đạo hàm của $\ln (x)$ đối với $x$ là $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x}$

Bước 1.2

Thay giới hạn dưới vào cho $x$ trong $u = \ln (x)$ .

$u_{lower} = \ln (e)$

Bước 1.3

Logarit tự nhiên của $e$ là $1$ .

$u_{lower} = 1$

Bước 1.4

Thay giới hạn trên vào cho $x$ trong $u = \ln (x)$ .

$u_{upper} = \ln (e^{4})$

Bước 1.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.1

Sử dụng các quy tắc logarit để di chuyển $4$ ra khỏi số mũ.

$u_{upper} = 4 \ln (e)$

Bước 1.5.2

Logarit tự nhiên của $e$ là $1$ .

$u_{upper} = 4 \cdot 1$

Bước 1.5.3

Nhân $4$ với $1$ .

$u_{upper} = 4$

Bước 1.6

Các giá trị tìm được cho $u_{lower}$ và $u_{upper}$ sẽ được sử dụng để tính tích phân xác định.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 4$

Bước 1.7

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ , $d u$ , và các giới hạn mới của phép tích phân.

$\int_{1}^{4} \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Bước 2

Áp dụng các quy tắc số mũ cơ bản.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{u}$ ở dạng $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\int_{1}^{4} \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

Bước 2.2

Di chuyển $u^{\frac{1}{2}}$ ra ngoài mẫu số bằng cách nâng nó lên lũy thừa $- 1$ .

$\int_{1}^{4} {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

Bước 2.3

Nhân các số mũ trong ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int_{1}^{4} u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

Bước 2.3.2

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $- 1$ .

$\int_{1}^{4} u^{\frac{- 1}{2}} d u$

Bước 2.3.3

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\int_{1}^{4} u^{- \frac{1}{2}} d u$

Bước 3

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u^{- \frac{1}{2}}$ đối với $u$ là $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$2 u^{\frac{1}{2}}]_{1}^{4}$

Bước 4

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Tính $2 u^{\frac{1}{2}}$ tại $4$ và tại $1$ .

$(2 \cdot 4^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}$

Bước 4.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Viết lại $4$ ở dạng $2^{2}$ .

$2 \cdot {(2^{2})}^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}$

Bước 4.2.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 \cdot 2^{2 (\frac{1}{2})} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}$

Bước 4.2.3

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.3.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$2 \cdot 2^{2 (\frac{1}{2})} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}$

Bước 4.2.3.2

Viết lại biểu thức.

$2 \cdot 2^{1} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}$

Bước 4.2.4

Tính số mũ.

$2 \cdot 2 - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}$

Bước 4.3

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Nhân $2$ với $2$ .

$4 - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}$

Bước 4.3.2

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$4 - 2 \cdot 1$

Bước 4.3.3

Nhân $- 2$ với $1$ .

$4 - 2$

Bước 4.3.4

Trừ $2$ khỏi $4$ .

$2$