Giải tích Ví dụ

$\int_{0}^{1} (2 x + 1) e^{x^{2} + x} d x$

Bước 1

Giả sử $u = x^{2} + x$ . Sau đó $d u = (2 x + 1) d x$ , nên $\frac{1}{2 x + 1} d u = d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Hãy đặt $u = x^{2} + x$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Tính đạo hàm $x^{2} + x$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + x]$

Bước 1.1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x^{2} + x$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$

Bước 1.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [x]$

Bước 1.1.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$2 x + 1$

Bước 1.2

Thay giới hạn dưới vào cho $x$ trong $u = x^{2} + x$ .

$u_{lower} = 0^{2} + 0$

Bước 1.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$u_{lower} = 0 + 0$

Bước 1.3.2

Cộng $0$ và $0$ .

$u_{lower} = 0$

Bước 1.4

Thay giới hạn trên vào cho $x$ trong $u = x^{2} + x$ .

$u_{upper} = 1^{2} + 1$

Bước 1.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.1

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$u_{upper} = 1 + 1$

Bước 1.5.2

Cộng $1$ và $1$ .

$u_{upper} = 2$

Bước 1.6

Các giá trị tìm được cho $u_{lower}$ và $u_{upper}$ sẽ được sử dụng để tính tích phân xác định.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 2$

Bước 1.7

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ , $d u$ , và các giới hạn mới của phép tích phân.

$\int_{0}^{2} e^{u} d u$

Bước 2

Tích phân của $e^{u}$ đối với $u$ là $e^{u}$ .

$e^{u}]_{0}^{2}$

Bước 3

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Tính $e^{u}$ tại $2$ và tại $0$ .

$(e^{2}) - e^{0}$

Bước 3.2

Bất kỳ đại lượng nào mũ $0$ lên đều là $1$ .

$e^{2} - 1 \cdot 1$

Bước 3.3

Nhân $- 1$ với $1$ .

$e^{2} - 1$

Bước 4

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$e^{2} - 1$

Dạng thập phân:

$6.38905609 \dots$