Giải tích Ví dụ

$\int 6 x {(x^{2} + 1)}^{2} d x$

Bước 1

Giả sử $u = x^{2} + 1$ . Sau đó $d u = 2 x d x$ , nên $\frac{1}{2 x} d u = d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Hãy đặt $u = x^{2} + 1$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Tính đạo hàm $x^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Bước 1.1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x^{2} + 1$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Bước 1.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [1]$

Bước 1.1.4

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$2 x + 0$

Bước 1.1.5

Cộng $2 x$ và $0$ .

$2 x$

Bước 1.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$\int 3 u^{2} d u$

Bước 2

Vì $3$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $3$ ra khỏi tích phân.

$3 \int u^{2} d u$

Bước 3

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u^{2}$ đối với $u$ là $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$3 (\frac{1}{3} u^{3} + C)$

Bước 4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Viết lại $3 (\frac{1}{3} u^{3} + C)$ ở dạng $3 (\frac{1}{3}) u^{3} + C$ .

$3 (\frac{1}{3}) u^{3} + C$

Bước 4.2

Viết lại $3 (\frac{1}{3}) u^{3} + C$ ở dạng $1 u^{3} + C$ .

$1 u^{3} + C$

Bước 4.3

Nhân $u^{3}$ với $1$ .

$u^{3} + C$

Bước 5

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $x^{2} + 1$ .

${(x^{2} + 1)}^{3} + C$