Giải tích Ví dụ

$\int x^{2} \sqrt{2 + x} d x$

Bước 1

Giả sử $u_{1} = 2 + x$ . Sau đó $d u_{1} = d x$ . Viết lại bằng $u_{1}$ và $d$ $u_{1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Hãy đặt $u_{1} = 2 + x$ . Tìm $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Tính đạo hàm $2 + x$ .

$\frac{d}{d x} [2 + x]$

Bước 1.1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $2 + x$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [x]$

Bước 1.1.3

Vì $2$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $2$ đối với $x$ là $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x]$

Bước 1.1.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$0 + 1$

Bước 1.1.5

Cộng $0$ và $1$ .

$1$

Bước 1.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u_{1}$ và $d u_{1}$ .

$\int {(u_{1} - 2)}^{2} \sqrt{u_{1}} d u_{1}$

Bước 2

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{u_{1}}$ ở dạng ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ .

$\int {(u_{1} - 2)}^{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2}} d u_{1}$

Bước 3

Giả sử $u_{2} = u_{1} - 2$ . Sau đó $d u_{2} = d u_{1}$ . Viết lại bằng $u_{2}$ và $d$ $u_{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Hãy đặt $u_{2} = u_{1} - 2$ . Tìm $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1

Tính đạo hàm $u_{1} - 2$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [u_{1} - 2]$

Bước 3.1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $u_{1} - 2$ đối với $u_{1}$ là $\frac{d}{d u_{1}} [u_{1}] + \frac{d}{d u_{1}} [- 2]$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [u_{1}] + \frac{d}{d u_{1}} [- 2]$

Bước 3.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ là $n {u_{1}}^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d u_{1}} [- 2]$

Bước 3.1.4

Vì $- 2$ là hằng số đối với $u_{1}$ , đạo hàm của $- 2$ đối với $u_{1}$ là $0$ .

$1 + 0$

Bước 3.1.5

Cộng $1$ và $0$ .

$1$

Bước 3.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u_{2}$ và $d u_{2}$ .

$\int {u_{2}}^{2} {(u_{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} d u_{2}$

Bước 4

Giả sử $u_{3} = u_{2} + 2$ . Sau đó $d u_{3} = d u_{2}$ . Viết lại bằng $u_{3}$ và $d$ $u_{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Hãy đặt $u_{3} = u_{2} + 2$ . Tìm $\frac{d u_{3}}{d u_{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1

Tính đạo hàm $u_{2} + 2$ .

$\frac{d}{d u_{2}} [u_{2} + 2]$

Bước 4.1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $u_{2} + 2$ đối với $u_{2}$ là $\frac{d}{d u_{2}} [u_{2}] + \frac{d}{d u_{2}} [2]$ .

$\frac{d}{d u_{2}} [u_{2}] + \frac{d}{d u_{2}} [2]$

Bước 4.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ là $n {u_{2}}^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d u_{2}} [2]$

Bước 4.1.4

Vì $2$ là hằng số đối với $u_{2}$ , đạo hàm của $2$ đối với $u_{2}$ là $0$ .

$1 + 0$

Bước 4.1.5

Cộng $1$ và $0$ .

$1$

Bước 4.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u_{3}$ và $d u_{3}$ .

$\int {(u_{3} - 2)}^{2} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

Bước 5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Viết lại ${(u_{3} - 2)}^{2}$ ở dạng $(u_{3} - 2) (u_{3} - 2)$ .

$\int (u_{3} - 2) (u_{3} - 2) {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

Bước 5.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\int (u_{3} (u_{3} - 2) - 2 (u_{3} - 2)) {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

Bước 5.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\int (u_{3} \cdot u_{3} + u_{3} \cdot - 2 - 2 (u_{3} - 2)) {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

Bước 5.4

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\int (u_{3} \cdot u_{3} + u_{3} \cdot - 2 - 2 u_{3} - 2 \cdot - 2) {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

Bước 5.5

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\int (u_{3} \cdot u_{3} + u_{3} \cdot - 2) {u_{3}}^{\frac{1}{2}} + (- 2 u_{3} - 2 \cdot - 2) {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

Bước 5.6

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\int u_{3} \cdot u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{1}{2}} + u_{3} \cdot - 2 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} + (- 2 u_{3} - 2 \cdot - 2) {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

Bước 5.7

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\int u_{3} \cdot u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{1}{2}} + u_{3} \cdot - 2 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 2 u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot - 2 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

Bước 5.8

Sắp xếp lại $u_{3}$ và $- 2$ .

$\int u_{3} \cdot u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 2 u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot - 2 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

Bước 5.9

Nâng $u_{3}$ lên lũy thừa $1$ .

$\int {u_{3}}^{1} u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 2 u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 2 u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot - 2 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

Bước 5.10

Nâng $u_{3}$ lên lũy thừa $1$ .

$\int {u_{3}}^{1} {u_{3}}^{1} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 2 u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 2 u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot - 2 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

Bước 5.11

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\int {u_{3}}^{1 + 1} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 2 u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 2 u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot - 2 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

Bước 5.12

Cộng $1$ và $1$ .

$\int {u_{3}}^{2} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 2 u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 2 u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot - 2 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

Bước 5.13

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\int {u_{3}}^{2 + \frac{1}{2}} - 2 u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 2 u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot - 2 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

Bước 5.14

Để viết $2$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$\int {u_{3}}^{2 \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2}} - 2 u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 2 u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot - 2 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

Bước 5.15

Kết hợp $2$ và $\frac{2}{2}$ .

$\int {u_{3}}^{\frac{2 \cdot 2}{2} + \frac{1}{2}} - 2 u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 2 u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot - 2 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

Bước 5.16

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\int {u_{3}}^{\frac{2 \cdot 2 + 1}{2}} - 2 u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 2 u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot - 2 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

Bước 5.17

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.17.1

Nhân $2$ với $2$ .

$\int {u_{3}}^{\frac{4 + 1}{2}} - 2 u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 2 u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot - 2 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

Bước 5.17.2

Cộng $4$ và $1$ .

$\int {u_{3}}^{\frac{5}{2}} - 2 u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 2 u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot - 2 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

Bước 5.18

Nâng $u_{3}$ lên lũy thừa $1$ .

$\int {u_{3}}^{\frac{5}{2}} - 2 ({u_{3}}^{1} {u_{3}}^{\frac{1}{2}}) - 2 u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot - 2 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

Bước 5.19

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\int {u_{3}}^{\frac{5}{2}} - 2 {u_{3}}^{1 + \frac{1}{2}} - 2 u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot - 2 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

Bước 5.20

Viết $1$ ở dạng một phân số với một mẫu số chung.

$\int {u_{3}}^{\frac{5}{2}} - 2 {u_{3}}^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}} - 2 u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot - 2 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

Bước 5.21

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\int {u_{3}}^{\frac{5}{2}} - 2 {u_{3}}^{\frac{2 + 1}{2}} - 2 u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot - 2 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

Bước 5.22

Cộng $2$ và $1$ .

$\int {u_{3}}^{\frac{5}{2}} - 2 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} - 2 u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot - 2 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

Bước 5.23

Nâng $u_{3}$ lên lũy thừa $1$ .

$\int {u_{3}}^{\frac{5}{2}} - 2 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} - 2 ({u_{3}}^{1} {u_{3}}^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot - 2 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

Bước 5.24

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\int {u_{3}}^{\frac{5}{2}} - 2 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} - 2 {u_{3}}^{1 + \frac{1}{2}} - 2 \cdot - 2 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

Bước 5.25

Viết $1$ ở dạng một phân số với một mẫu số chung.

$\int {u_{3}}^{\frac{5}{2}} - 2 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} - 2 {u_{3}}^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}} - 2 \cdot - 2 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

Bước 5.26

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\int {u_{3}}^{\frac{5}{2}} - 2 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} - 2 {u_{3}}^{\frac{2 + 1}{2}} - 2 \cdot - 2 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

Bước 5.27

Cộng $2$ và $1$ .

$\int {u_{3}}^{\frac{5}{2}} - 2 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} - 2 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} - 2 \cdot - 2 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

Bước 5.28

Nhân $- 2$ với $- 2$ .

$\int {u_{3}}^{\frac{5}{2}} - 2 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} - 2 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} + 4 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

Bước 5.29

Trừ $2 {u_{3}}^{\frac{3}{2}}$ khỏi $- 2 {u_{3}}^{\frac{3}{2}}$ .

$\int {u_{3}}^{\frac{5}{2}} - 4 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} + 4 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

Bước 5.30

Sắp xếp lại $- 4 {u_{3}}^{\frac{3}{2}}$ và $4 {u_{3}}^{\frac{1}{2}}$ .

$\int {u_{3}}^{\frac{5}{2}} + 4 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 4 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} d u_{3}$

Bước 5.31

Sắp xếp lại ${u_{3}}^{\frac{5}{2}}$ và $4 {u_{3}}^{\frac{1}{2}}$ .

$\int 4 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} + {u_{3}}^{\frac{5}{2}} - 4 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} d u_{3}$

Bước 6

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\int 4 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3} + \int {u_{3}}^{\frac{5}{2}} d u_{3} + \int - 4 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} d u_{3}$

Bước 7

Vì $4$ không đổi đối với $u_{3}$ , hãy di chuyển $4$ ra khỏi tích phân.

$4 \int {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3} + \int {u_{3}}^{\frac{5}{2}} d u_{3} + \int - 4 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} d u_{3}$

Bước 8

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của ${u_{3}}^{\frac{1}{2}}$ đối với $u_{3}$ là $\frac{2}{3} {u_{3}}^{\frac{3}{2}}$ .

$4 (\frac{2}{3} {u_{3}}^{\frac{3}{2}} + C) + \int {u_{3}}^{\frac{5}{2}} d u_{3} + \int - 4 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} d u_{3}$

Bước 9

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của ${u_{3}}^{\frac{5}{2}}$ đối với $u_{3}$ là $\frac{2}{7} {u_{3}}^{\frac{7}{2}}$ .

$4 (\frac{2}{3} {u_{3}}^{\frac{3}{2}} + C) + \frac{2}{7} {u_{3}}^{\frac{7}{2}} + C + \int - 4 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} d u_{3}$

Bước 10

Kết hợp $\frac{2}{3}$ và ${u_{3}}^{\frac{3}{2}}$ .

$4 (\frac{2 {u_{3}}^{\frac{3}{2}}}{3} + C) + \frac{2}{7} {u_{3}}^{\frac{7}{2}} + C + \int - 4 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} d u_{3}$

Bước 11

Vì $- 4$ không đổi đối với $u_{3}$ , hãy di chuyển $- 4$ ra khỏi tích phân.

$4 (\frac{2 {u_{3}}^{\frac{3}{2}}}{3} + C) + \frac{2}{7} {u_{3}}^{\frac{7}{2}} + C - 4 \int {u_{3}}^{\frac{3}{2}} d u_{3}$

Bước 12

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của ${u_{3}}^{\frac{3}{2}}$ đối với $u_{3}$ là $\frac{2}{5} {u_{3}}^{\frac{5}{2}}$ .

$4 (\frac{2 {u_{3}}^{\frac{3}{2}}}{3} + C) + \frac{2}{7} {u_{3}}^{\frac{7}{2}} + C - 4 (\frac{2}{5} {u_{3}}^{\frac{5}{2}} + C)$

Bước 13

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1

Kết hợp $\frac{2}{5}$ và ${u_{3}}^{\frac{5}{2}}$ .

$4 (\frac{2 {u_{3}}^{\frac{3}{2}}}{3} + C) + \frac{2}{7} {u_{3}}^{\frac{7}{2}} + C - 4 (\frac{2 {u_{3}}^{\frac{5}{2}}}{5} + C)$

Bước 13.2

Rút gọn.

$\frac{8 {u_{3}}^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{2 {u_{3}}^{\frac{7}{2}}}{7} - 4 \frac{2 {u_{3}}^{\frac{5}{2}}}{5} + C$

Bước 14

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{8}{3} {u_{3}}^{\frac{3}{2}} + \frac{2}{7} {u_{3}}^{\frac{7}{2}} - 4 (\frac{2}{5}) {u_{3}}^{\frac{5}{2}} + C$

Bước 15

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.1

Kết hợp $- 4$ và $\frac{2}{5}$ .

$\frac{8}{3} {u_{3}}^{\frac{3}{2}} + \frac{2}{7} {u_{3}}^{\frac{7}{2}} + \frac{- 4 \cdot 2}{5} {u_{3}}^{\frac{5}{2}} + C$

Bước 15.2

Nhân $- 4$ với $2$ .

$\frac{8}{3} {u_{3}}^{\frac{3}{2}} + \frac{2}{7} {u_{3}}^{\frac{7}{2}} + \frac{- 8}{5} {u_{3}}^{\frac{5}{2}} + C$

Bước 15.3

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{8}{3} {u_{3}}^{\frac{3}{2}} + \frac{2}{7} {u_{3}}^{\frac{7}{2}} - \frac{8}{5} {u_{3}}^{\frac{5}{2}} + C$

Bước 16

Thay trở lại cho mỗi biến thay thế tích phân.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 16.1

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{3}$ với $u_{2} + 2$ .

$\frac{8}{3} {(u_{2} + 2)}^{\frac{3}{2}} + \frac{2}{7} {(u_{2} + 2)}^{\frac{7}{2}} - \frac{8}{5} {(u_{2} + 2)}^{\frac{5}{2}} + C$

Bước 16.2

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $u_{1} - 2$ .

$\frac{8}{3} {(u_{1} - 2 + 2)}^{\frac{3}{2}} + \frac{2}{7} {(u_{1} - 2 + 2)}^{\frac{7}{2}} - \frac{8}{5} {(u_{1} - 2 + 2)}^{\frac{5}{2}} + C$

Bước 16.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $2 + x$ .

$\frac{8}{3} {(2 + x - 2 + 2)}^{\frac{3}{2}} + \frac{2}{7} {(2 + x - 2 + 2)}^{\frac{7}{2}} - \frac{8}{5} {(2 + x - 2 + 2)}^{\frac{5}{2}} + C$