Giải tích Ví dụ

$\int_{- \infty}^{0} \frac{1}{16 + x^{2}} d x$

Bước 1

Không thể hoàn thành tích phân này bằng phương pháp thay thế u. Mathway sẽ sử dụng phương pháp khác.

Bước 2

Viết tích phân ở dạng một giới hạn khi $t$ tiến dần đến $- \infty$ .

$lim_{t \to - \infty} \int_{t}^{0} \frac{1}{16 + x^{2}} d x$

Bước 3

Viết lại $16$ ở dạng $4^{2}$ .

$lim_{t \to - \infty} \int_{t}^{0} \frac{1}{4^{2} + x^{2}} d x$

Bước 4

Tích phân của $\frac{1}{4^{2} + x^{2}}$ đối với $x$ là $\frac{1}{4} \arctan (\frac{x}{4})]_{t}^{0}$ .

$lim_{t \to - \infty} \frac{1}{4} \arctan (\frac{x}{4})]_{t}^{0}$

Bước 5

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Kết hợp $\frac{1}{4}$ và $\arctan (\frac{x}{4})$ .

$lim_{t \to - \infty} \frac{\arctan (\frac{x}{4})}{4}]_{t}^{0}$

Bước 5.2

Thay và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Tính $\frac{\arctan (\frac{x}{4})}{4}$ tại $0$ và tại $t$ .

$lim_{t \to - \infty} (\frac{\arctan (\frac{0}{4})}{4}) - \frac{\arctan (\frac{t}{4})}{4}$

Bước 5.2.2

Triệt tiêu thừa số chung của $0$ và $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.2.1

Đưa $4$ ra ngoài $0$ .

$lim_{t \to - \infty} \frac{\arctan (\frac{4 (0)}{4})}{4} - \frac{\arctan (\frac{t}{4})}{4}$

Bước 5.2.2.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.2.2.1

Đưa $4$ ra ngoài $4$ .

$lim_{t \to - \infty} \frac{\arctan (\frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1})}{4} - \frac{\arctan (\frac{t}{4})}{4}$

Bước 5.2.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$lim_{t \to - \infty} \frac{\arctan (\frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1})}{4} - \frac{\arctan (\frac{t}{4})}{4}$

Bước 5.2.2.2.3

Viết lại biểu thức.

$lim_{t \to - \infty} \frac{\arctan (\frac{0}{1})}{4} - \frac{\arctan (\frac{t}{4})}{4}$

Bước 5.2.2.2.4

Chia $0$ cho $1$ .

$lim_{t \to - \infty} \frac{\arctan (0)}{4} - \frac{\arctan (\frac{t}{4})}{4}$

Bước 6

Tính giới hạn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Kết hợp các phân số bằng mẫu số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$lim_{t \to - \infty} \frac{\arctan (0) - \arctan (\frac{t}{4})}{4}$

Bước 6.1.2

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.2.1

Giá trị chính xác của $\arctan (0)$ là $0$ .

$lim_{t \to - \infty} \frac{0 - \arctan (\frac{t}{4})}{4}$

Bước 6.1.2.2

Trừ $\arctan (\frac{t}{4})$ khỏi $0$ .

$lim_{t \to - \infty} \frac{- \arctan (\frac{t}{4})}{4}$

Bước 6.1.3

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$lim_{t \to - \infty} - \frac{\arctan (\frac{t}{4})}{4}$

Bước 6.2

Chuyển số hạng $- 1$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $t$ .

$- lim_{t \to - \infty} \frac{\arctan (\frac{t}{4})}{4}$

Bước 6.3

Chuyển số hạng $\frac{1}{4}$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $t$ .

$- \frac{1}{4} lim_{t \to - \infty} \arctan (\frac{t}{4})$

Bước 6.4

Giới hạn ở vô cực âm của một đa thức bậc lẻ có hệ số của số hạng cao nhất dương là vô cực âm.

$- \frac{1}{4} - \infty$

Bước 6.5

Thay $t$ vào $\frac{t}{4}$ và cho $t$ tiến về $- \infty$ vì $lim_{t \to - \infty} \frac{t}{4} = - \infty$ .

$- \frac{1}{4} lim_{t \to - \infty} \arctan (t)$

Bước 6.6

Giới hạn khi $t$ tiến về $- \infty$ là bằng $- \frac{π}{2}$ .

$- \frac{1}{4} \cdot - 1 \frac{π}{2}$

Bước 6.7

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.7.1

Nhân $- \frac{1}{4} \cdot - 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.7.1.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$1 (\frac{1}{4}) \frac{π}{2}$

Bước 6.7.1.2

Nhân $\frac{1}{4}$ với $1$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{π}{2}$

Bước 6.7.2

Nhân $\frac{1}{4} \cdot \frac{π}{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.7.2.1

Nhân $\frac{1}{4}$ với $\frac{π}{2}$ .

$\frac{π}{4 \cdot 2}$

Bước 6.7.2.2

Nhân $4$ với $2$ .

$\frac{π}{8}$

Bước 7

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$\frac{π}{8}$

Dạng thập phân:

$0.39269908 \dots$