Giải tích Ví dụ

$\int \frac{1}{{(8 x - 1)}^{3}} d x$

Bước 1

Giả sử $u = 8 x - 1$ . Sau đó $d u = 8 d x$ , nên $\frac{1}{8} d u = d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Hãy đặt $u = 8 x - 1$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Tính đạo hàm $8 x - 1$ .

$\frac{d}{d x} [8 x - 1]$

Bước 1.1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $8 x - 1$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Bước 1.1.3

Tính $\frac{d}{d x} [8 x]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.3.1

Vì $8$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $8 x$ đối với $x$ là $8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$8 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Bước 1.1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Bước 1.1.3.3

Nhân $8$ với $1$ .

$8 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Bước 1.1.4

Tìm đạo hàm bằng quy tắc hằng số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.4.1

Vì $- 1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 1$ đối với $x$ là $0$ .

$8 + 0$

Bước 1.1.4.2

Cộng $8$ và $0$ .

$8$

Bước 1.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$\int \frac{1}{u^{3}} \cdot \frac{1}{8} d u$

Bước 2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Nhân $\frac{1}{u^{3}}$ với $\frac{1}{8}$ .

$\int \frac{1}{u^{3} \cdot 8} d u$

Bước 2.2

Di chuyển $8$ sang phía bên trái của $u^{3}$ .

$\int \frac{1}{8 u^{3}} d u$

Bước 3

Vì $\frac{1}{8}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{8}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{8} \int \frac{1}{u^{3}} d u$

Bước 4

Áp dụng các quy tắc số mũ cơ bản.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Di chuyển $u^{3}$ ra ngoài mẫu số bằng cách nâng nó lên lũy thừa $- 1$ .

$\frac{1}{8} \int {(u^{3})}^{- 1} d u$

Bước 4.2

Nhân các số mũ trong ${(u^{3})}^{- 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{8} \int u^{3 \cdot - 1} d u$

Bước 4.2.2

Nhân $3$ với $- 1$ .

$\frac{1}{8} \int u^{- 3} d u$

Bước 5

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u^{- 3}$ đối với $u$ là $- \frac{1}{2} u^{- 2}$ .

$\frac{1}{8} (- \frac{1}{2} u^{- 2} + C)$

Bước 6

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Viết lại $\frac{1}{8} (- \frac{1}{2} u^{- 2} + C)$ ở dạng $\frac{1}{8} (- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{u^{2}}) + C$ .

$\frac{1}{8} (- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{u^{2}}) + C$

Bước 6.2

Viết lại $\frac{1}{8} (- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{u^{2}}) + C$ ở dạng $\frac{1}{8} (- \frac{1}{u^{2} \cdot 2}) + C$ .

$\frac{1}{8} (- \frac{1}{u^{2} \cdot 2}) + C$

Bước 6.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.1

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $u^{2}$ .

$\frac{1}{8} (- \frac{1}{2 \cdot u^{2}}) + C$

Bước 6.3.2

Nhân $\frac{1}{8}$ với $\frac{1}{2 u^{2}}$ .

$- \frac{1}{8 (2 u^{2})} + C$

Bước 6.3.3

Nhân $2$ với $8$ .

$- \frac{1}{16 u^{2}} + C$

Bước 7

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $8 x - 1$ .

$- \frac{1}{16 {(8 x - 1)}^{2}} + C$