Giải tích Ví dụ

$\int_{0}^{3} x \sqrt{9 - x^{2}} d x$

Bước 1

Giả sử $u = 9 - x^{2}$ . Sau đó $d u = - 2 x d x$ , nên $- \frac{1}{2} d u = x d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Hãy đặt $u = 9 - x^{2}$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Tính đạo hàm $9 - x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [9 - x^{2}]$

Bước 1.1.2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $9 - x^{2}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [9] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [9] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Bước 1.1.2.2

Vì $9$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $9$ đối với $x$ là $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Bước 1.1.3

Tính $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.3.1

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- x^{2}$ đối với $x$ là $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$0 - \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Bước 1.1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$0 - (2 x)$

Bước 1.1.3.3

Nhân $2$ với $- 1$ .

$0 - 2 x$

Bước 1.1.4

Trừ $2 x$ khỏi $0$ .

$- 2 x$

Bước 1.2

Thay giới hạn dưới vào cho $x$ trong $u = 9 - x^{2}$ .

$u_{lower} = 9 - 0^{2}$

Bước 1.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1.1

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$u_{lower} = 9 - 0$

Bước 1.3.1.2

Nhân $- 1$ với $0$ .

$u_{lower} = 9 + 0$

Bước 1.3.2

Cộng $9$ và $0$ .

$u_{lower} = 9$

Bước 1.4

Thay giới hạn trên vào cho $x$ trong $u = 9 - x^{2}$ .

$u_{upper} = 9 - 3^{2}$

Bước 1.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.1.1

Nâng $3$ lên lũy thừa $2$ .

$u_{upper} = 9 - 1 \cdot 9$

Bước 1.5.1.2

Nhân $- 1$ với $9$ .

$u_{upper} = 9 - 9$

Bước 1.5.2

Trừ $9$ khỏi $9$ .

$u_{upper} = 0$

Bước 1.6

Các giá trị tìm được cho $u_{lower}$ và $u_{upper}$ sẽ được sử dụng để tính tích phân xác định.

$u_{lower} = 9$

$u_{upper} = 0$

Bước 1.7

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ , $d u$ , và các giới hạn mới của phép tích phân.

$\int_{9}^{0} \sqrt{u} \frac{1}{- 2} d u$

Bước 2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\int_{9}^{0} \sqrt{u} (- \frac{1}{2}) d u$

Bước 2.2

Kết hợp $\sqrt{u}$ và $\frac{1}{2}$ .

$\int_{9}^{0} - \frac{\sqrt{u}}{2} d u$

Bước 3

Vì $- 1$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$- \int_{9}^{0} \frac{\sqrt{u}}{2} d u$

Bước 4

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$- (\frac{1}{2} \int_{9}^{0} \sqrt{u} d u)$

Bước 5

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{u}$ ở dạng $u^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{1}{2} \int_{9}^{0} u^{\frac{1}{2}} d u$

Bước 6

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u^{\frac{1}{2}}$ đối với $u$ là $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$- \frac{1}{2} \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{9}^{0}$

Bước 7

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Tính $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ tại $0$ và tại $9$ .

$- \frac{1}{2} ((\frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}})$

Bước 7.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1

Viết lại $0$ ở dạng $0^{2}$ .

$- \frac{1}{2} (\frac{2}{3} \cdot {(0^{2})}^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}})$

Bước 7.2.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{2} (\frac{2}{3} \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}})$

Bước 7.2.3

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.3.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$- \frac{1}{2} (\frac{2}{3} \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}})$

Bước 7.2.3.2

Viết lại biểu thức.

$- \frac{1}{2} (\frac{2}{3} \cdot 0^{3} - \frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}})$

Bước 7.2.4

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$- \frac{1}{2} (\frac{2}{3} \cdot 0 - \frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}})$

Bước 7.3

Nhân $\frac{2}{3}$ với $0$ .

$- \frac{1}{2} (0 - \frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}})$

Bước 7.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.4.1

Viết lại $9$ ở dạng $3^{2}$ .

$- \frac{1}{2} (0 - \frac{2}{3} \cdot {(3^{2})}^{\frac{3}{2}})$

Bước 7.4.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{2} (0 - \frac{2}{3} \cdot 3^{2 (\frac{3}{2})})$

Bước 7.4.3

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.4.3.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$- \frac{1}{2} (0 - \frac{2}{3} \cdot 3^{2 (\frac{3}{2})})$

Bước 7.4.3.2

Viết lại biểu thức.

$- \frac{1}{2} (0 - \frac{2}{3} \cdot 3^{3})$

Bước 7.4.4

Nâng $3$ lên lũy thừa $3$ .

$- \frac{1}{2} (0 - \frac{2}{3} \cdot 27)$

Bước 7.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.5.1

Nhân $27$ với $- 1$ .

$- \frac{1}{2} (0 - 27 (\frac{2}{3}))$

Bước 7.5.2

Kết hợp $- 27$ và $\frac{2}{3}$ .

$- \frac{1}{2} (0 + \frac{- 27 \cdot 2}{3})$

Bước 7.5.3

Nhân $- 27$ với $2$ .

$- \frac{1}{2} (0 + \frac{- 54}{3})$

Bước 7.5.4

Triệt tiêu thừa số chung của $- 54$ và $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.5.4.1

Đưa $3$ ra ngoài $- 54$ .

$- \frac{1}{2} (0 + \frac{3 \cdot - 18}{3})$

Bước 7.5.4.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.5.4.2.1

Đưa $3$ ra ngoài $3$ .

$- \frac{1}{2} (0 + \frac{3 \cdot - 18}{3 (1)})$

Bước 7.5.4.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$- \frac{1}{2} (0 + \frac{3 \cdot - 18}{3 \cdot 1})$

Bước 7.5.4.2.3

Viết lại biểu thức.

$- \frac{1}{2} (0 + \frac{- 18}{1})$

Bước 7.5.4.2.4

Chia $- 18$ cho $1$ .

$- \frac{1}{2} (0 - 18)$

Bước 7.6

Trừ $18$ khỏi $0$ .

$- \frac{1}{2} \cdot - 18$

Bước 7.7

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.7.1

Nhân $- 18$ với $- 1$ .

$18 (\frac{1}{2})$

Bước 7.7.2

Kết hợp $18$ và $\frac{1}{2}$ .

$\frac{18}{2}$

Bước 7.7.3

Triệt tiêu thừa số chung của $18$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.7.3.1

Đưa $2$ ra ngoài $18$ .

$\frac{2 \cdot 9}{2}$

Bước 7.7.3.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.7.3.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$\frac{2 \cdot 9}{2 (1)}$

Bước 7.7.3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 \cdot 9}{2 \cdot 1}$

Bước 7.7.3.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{9}{1}$

Bước 7.7.3.2.4

Chia $9$ cho $1$ .

$9$