Giải tích Ví dụ

$\int x e^{3 x} d x$

Bước 1

Giả sử $u = 3 x$ . Sau đó $d u = 3 d x$ , nên $\frac{1}{3} d u = d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Hãy đặt $u = 3 x$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Tính đạo hàm $3 x$ .

$\frac{d}{d x} [3 x]$

Bước 1.1.2

Vì $3$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $3 x$ đối với $x$ là $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x]$

Bước 1.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$3 \cdot 1$

Bước 1.1.4

Nhân $3$ với $1$ .

$3$

Bước 1.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$\int \frac{u}{3} e^{u} \frac{1}{3} d u$

Bước 2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Kết hợp $\frac{u}{3}$ và $e^{u}$ .

$\int \frac{u e^{u}}{3} \cdot \frac{1}{3} d u$

Bước 2.2

Nhân $\frac{u e^{u}}{3}$ với $\frac{1}{3}$ .

$\int \frac{u e^{u}}{3 \cdot 3} d u$

Bước 2.3

Nhân $3$ với $3$ .

$\int \frac{u e^{u}}{9} d u$

Bước 3

Vì $\frac{1}{9}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{9}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{9} \int u e^{u} d u$

Bước 4

Lấy tích phân từng phần bằng công thức $\int w d v = w v - \int v d w$ , trong đó $w = u$ và $dv = e^{u}$ .

$\frac{1}{9} (u e^{u} - \int e^{u} d u)$

Bước 5

Tích phân của $e^{u}$ đối với $u$ là $e^{u}$ .

$\frac{1}{9} (u e^{u} - (e^{u} + C))$

Bước 6

Rút gọn.

$\frac{1}{9} (u e^{u} - e^{u}) + C$

Bước 7

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $3 x$ .

$\frac{1}{9} (3 x e^{3 x} - e^{3 x}) + C$

Bước 8

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{1}{9} (3 x e^{3 x}) + \frac{1}{9} (- e^{3 x}) + C$

Bước 8.2

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.1

Đưa $3$ ra ngoài $9$ .

$\frac{1}{3 (3)} (3 x e^{3 x}) + \frac{1}{9} (- e^{3 x}) + C$

Bước 8.2.2

Đưa $3$ ra ngoài $3 x e^{3 x}$ .

$\frac{1}{3 (3)} (3 (x e^{3 x})) + \frac{1}{9} (- e^{3 x}) + C$

Bước 8.2.3

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{3 \cdot 3} (3 (x e^{3 x})) + \frac{1}{9} (- e^{3 x}) + C$

Bước 8.2.4

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{3} (x e^{3 x}) + \frac{1}{9} (- e^{3 x}) + C$

Bước 8.3

Kết hợp $x$ và $\frac{1}{3}$ .

$\frac{x}{3} e^{3 x} + \frac{1}{9} (- e^{3 x}) + C$

Bước 8.4

Kết hợp $\frac{x}{3}$ và $e^{3 x}$ .

$\frac{x e^{3 x}}{3} + \frac{1}{9} (- e^{3 x}) + C$

Bước 8.5

Kết hợp $\frac{1}{9}$ và $e^{3 x}$ .

$\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{e^{3 x}}{9} + C$

Bước 9

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{1}{3} x e^{3 x} - \frac{1}{9} e^{3 x} + C$