Giải tích Ví dụ

$\int 2 x \sqrt{x - 5} d x$

Bước 1

Giả sử $u = x - 5$ . Sau đó $d u = d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Hãy đặt $u = x - 5$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Tính đạo hàm $x - 5$ .

$\frac{d}{d x} [x - 5]$

Bước 1.1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x - 5$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Bước 1.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 5]$

Bước 1.1.4

Vì $- 5$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 5$ đối với $x$ là $0$ .

$1 + 0$

Bước 1.1.5

Cộng $1$ và $0$ .

$1$

Bước 1.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$\int 2 (u + 5) \sqrt{u} d u$

Bước 2

Vì $2$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $2$ ra khỏi tích phân.

$2 \int (u + 5) \sqrt{u} d u$

Bước 3

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{u}$ ở dạng $u^{\frac{1}{2}}$ .

$2 \int (u + 5) u^{\frac{1}{2}} d u$

Bước 4

Khai triển $(u + 5) u^{\frac{1}{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$2 \int u \cdot u^{\frac{1}{2}} + 5 u^{\frac{1}{2}} d u$

Bước 4.2

Nâng $u$ lên lũy thừa $1$ .

$2 \int u^{1} u^{\frac{1}{2}} + 5 u^{\frac{1}{2}} d u$

Bước 4.3

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$2 \int u^{1 + \frac{1}{2}} + 5 u^{\frac{1}{2}} d u$

Bước 4.4

Viết $1$ ở dạng một phân số với một mẫu số chung.

$2 \int u^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}} + 5 u^{\frac{1}{2}} d u$

Bước 4.5

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$2 \int u^{\frac{2 + 1}{2}} + 5 u^{\frac{1}{2}} d u$

Bước 4.6

Cộng $2$ và $1$ .

$2 \int u^{\frac{3}{2}} + 5 u^{\frac{1}{2}} d u$

Bước 4.7

Sắp xếp lại $u^{\frac{3}{2}}$ và $5 u^{\frac{1}{2}}$ .

$2 \int 5 u^{\frac{1}{2}} + u^{\frac{3}{2}} d u$

Bước 5

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$2 (\int 5 u^{\frac{1}{2}} d u + \int u^{\frac{3}{2}} d u)$

Bước 6

Vì $5$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $5$ ra khỏi tích phân.

$2 (5 \int u^{\frac{1}{2}} d u + \int u^{\frac{3}{2}} d u)$

Bước 7

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u^{\frac{1}{2}}$ đối với $u$ là $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$2 (5 (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C) + \int u^{\frac{3}{2}} d u)$

Bước 8

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u^{\frac{3}{2}}$ đối với $u$ là $\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}$ .

$2 (5 (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C) + \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C)$

Bước 9

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1.1

Kết hợp $\frac{2}{3}$ và $u^{\frac{3}{2}}$ .

$2 (5 (\frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3} + C) + \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C)$

Bước 9.1.2

Kết hợp $\frac{2}{5}$ và $u^{\frac{5}{2}}$ .

$2 (5 (\frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3} + C) + \frac{2 u^{\frac{5}{2}}}{5} + C)$

Bước 9.2

Rút gọn.

$2 (\frac{10 u^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{2 u^{\frac{5}{2}}}{5}) + C$

Bước 9.3

Sắp xếp lại các số hạng.

$2 (\frac{10}{3} u^{\frac{3}{2}} + \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}) + C$

Bước 10

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $x - 5$ .

$2 (\frac{10}{3} {(x - 5)}^{\frac{3}{2}} + \frac{2}{5} {(x - 5)}^{\frac{5}{2}}) + C$

Bước 11

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1.1

Kết hợp $\frac{10}{3}$ và ${(x - 5)}^{\frac{3}{2}}$ .

$2 (\frac{10 {(x - 5)}^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{2}{5} {(x - 5)}^{\frac{5}{2}}) + C$

Bước 11.1.2

Kết hợp $\frac{2}{5}$ và ${(x - 5)}^{\frac{5}{2}}$ .

$2 (\frac{10 {(x - 5)}^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{2 {(x - 5)}^{\frac{5}{2}}}{5}) + C$

Bước 11.2

Để viết $\frac{10 {(x - 5)}^{\frac{3}{2}}}{3}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{5}{5}$ .

$2 (\frac{10 {(x - 5)}^{\frac{3}{2}}}{3} \cdot \frac{5}{5} + \frac{2 {(x - 5)}^{\frac{5}{2}}}{5}) + C$

Bước 11.3

Để viết $\frac{2 {(x - 5)}^{\frac{5}{2}}}{5}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{3}{3}$ .

$2 (\frac{10 {(x - 5)}^{\frac{3}{2}}}{3} \cdot \frac{5}{5} + \frac{2 {(x - 5)}^{\frac{5}{2}}}{5} \cdot \frac{3}{3}) + C$

Bước 11.4

Viết mỗi biểu thức với mẫu số chung là $15$ , bằng cách nhân từng biểu thức với một thừa số thích hợp của $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.4.1

Nhân $\frac{10 {(x - 5)}^{\frac{3}{2}}}{3}$ với $\frac{5}{5}$ .

$2 (\frac{10 {(x - 5)}^{\frac{3}{2}} \cdot 5}{3 \cdot 5} + \frac{2 {(x - 5)}^{\frac{5}{2}}}{5} \cdot \frac{3}{3}) + C$

Bước 11.4.2

Nhân $3$ với $5$ .

$2 (\frac{10 {(x - 5)}^{\frac{3}{2}} \cdot 5}{15} + \frac{2 {(x - 5)}^{\frac{5}{2}}}{5} \cdot \frac{3}{3}) + C$

Bước 11.4.3

Nhân $\frac{2 {(x - 5)}^{\frac{5}{2}}}{5}$ với $\frac{3}{3}$ .

$2 (\frac{10 {(x - 5)}^{\frac{3}{2}} \cdot 5}{15} + \frac{2 {(x - 5)}^{\frac{5}{2}} \cdot 3}{5 \cdot 3}) + C$

Bước 11.4.4

Nhân $5$ với $3$ .

$2 (\frac{10 {(x - 5)}^{\frac{3}{2}} \cdot 5}{15} + \frac{2 {(x - 5)}^{\frac{5}{2}} \cdot 3}{15}) + C$

Bước 11.5

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$2 \frac{10 {(x - 5)}^{\frac{3}{2}} \cdot 5 + 2 {(x - 5)}^{\frac{5}{2}} \cdot 3}{15} + C$

Bước 11.6

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.6.1

Đưa $2 {(x - 5)}^{\frac{3}{2}}$ ra ngoài $10 {(x - 5)}^{\frac{3}{2}} \cdot 5 + 2 {(x - 5)}^{\frac{5}{2}} \cdot 3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.6.1.1

Sắp xếp lại biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.6.1.1.1

Di chuyển ${(x - 5)}^{\frac{3}{2}}$ .

$2 \frac{10 \cdot 5 {(x - 5)}^{\frac{3}{2}} + 2 {(x - 5)}^{\frac{5}{2}} \cdot 3}{15} + C$

Bước 11.6.1.1.2

Di chuyển ${(x - 5)}^{\frac{5}{2}}$ .

$2 \frac{10 \cdot 5 {(x - 5)}^{\frac{3}{2}} + 2 \cdot 3 {(x - 5)}^{\frac{5}{2}}}{15} + C$

Bước 11.6.1.2

Đưa $2 {(x - 5)}^{\frac{3}{2}}$ ra ngoài $10 \cdot 5 {(x - 5)}^{\frac{3}{2}}$ .

$2 \frac{2 {(x - 5)}^{\frac{3}{2}} (5 \cdot 5) + 2 \cdot 3 {(x - 5)}^{\frac{5}{2}}}{15} + C$

Bước 11.6.1.3

Đưa $2 {(x - 5)}^{\frac{3}{2}}$ ra ngoài $2 \cdot 3 {(x - 5)}^{\frac{5}{2}}$ .

$2 \frac{2 {(x - 5)}^{\frac{3}{2}} (5 \cdot 5) + 2 {(x - 5)}^{\frac{3}{2}} (3 {(x - 5)}^{\frac{2}{2}})}{15} + C$

Bước 11.6.1.4

Đưa $2 {(x - 5)}^{\frac{3}{2}}$ ra ngoài $2 {(x - 5)}^{\frac{3}{2}} (5 \cdot 5) + 2 {(x - 5)}^{\frac{3}{2}} (3 {(x - 5)}^{\frac{2}{2}})$ .

$2 \frac{2 {(x - 5)}^{\frac{3}{2}} (5 \cdot 5 + 3 {(x - 5)}^{\frac{2}{2}})}{15} + C$

Bước 11.6.2

Nhân $5$ với $5$ .

$2 \frac{2 {(x - 5)}^{\frac{3}{2}} (25 + 3 {(x - 5)}^{\frac{2}{2}})}{15} + C$

Bước 11.6.3

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.6.3.1

Chia $2$ cho $2$ .

$2 \frac{2 {(x - 5)}^{\frac{3}{2}} (25 + 3 {(x - 5)}^{1})}{15} + C$

Bước 11.6.3.2

Rút gọn.

$2 \frac{2 {(x - 5)}^{\frac{3}{2}} (25 + 3 (x - 5))}{15} + C$

Bước 11.6.3.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$2 \frac{2 {(x - 5)}^{\frac{3}{2}} (25 + 3 x + 3 \cdot - 5)}{15} + C$

Bước 11.6.3.4

Nhân $3$ với $- 5$ .

$2 \frac{2 {(x - 5)}^{\frac{3}{2}} (25 + 3 x - 15)}{15} + C$

Bước 11.6.4

Trừ $15$ khỏi $25$ .

$2 \frac{2 {(x - 5)}^{\frac{3}{2}} (3 x + 10)}{15} + C$

Bước 11.7

Nhân $2 \frac{2 {(x - 5)}^{\frac{3}{2}} (3 x + 10)}{15}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.7.1

Kết hợp $2$ và $\frac{2 {(x - 5)}^{\frac{3}{2}} (3 x + 10)}{15}$ .

$\frac{2 (2 {(x - 5)}^{\frac{3}{2}} (3 x + 10))}{15} + C$

Bước 11.7.2

Nhân $2$ với $2$ .

$\frac{4 ({(x - 5)}^{\frac{3}{2}} (3 x + 10))}{15} + C$

$\frac{4 {(x - 5)}^{\frac{3}{2}} (3 x + 10)}{15} + C$