Giải tích Ví dụ

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \sin (x) \cos^{3} (x) d x$

Bước 1

Giả sử $u = \cos (x)$ . Sau đó $d u = - \sin (x) d x$ , nên $- \frac{1}{\sin (x)} d u = d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Hãy đặt $u = \cos (x)$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Tính đạo hàm $\cos (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Bước 1.1.2

Đạo hàm của $\cos (x)$ đối với $x$ là $- \sin (x)$ .

$- \sin (x)$

Bước 1.2

Thay giới hạn dưới vào cho $x$ trong $u = \cos (x)$ .

$u_{lower} = \cos (0)$

Bước 1.3

Giá trị chính xác của $\cos (0)$ là $1$ .

$u_{lower} = 1$

Bước 1.4

Thay giới hạn trên vào cho $x$ trong $u = \cos (x)$ .

$u_{upper} = \cos (\frac{π}{3})$

Bước 1.5

Giá trị chính xác của $\cos (\frac{π}{3})$ là $\frac{1}{2}$ .

$u_{upper} = \frac{1}{2}$

Bước 1.6

Các giá trị tìm được cho $u_{lower}$ và $u_{upper}$ sẽ được sử dụng để tính tích phân xác định.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = \frac{1}{2}$

Bước 1.7

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ , $d u$ , và các giới hạn mới của phép tích phân.

$\int_{1}^{\frac{1}{2}} - 1 u^{3} d u$

Bước 2

Vì $- 1$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$- \int_{1}^{\frac{1}{2}} u^{3} d u$

Bước 3

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u^{3}$ đối với $u$ là $\frac{1}{4} u^{4}$ .

$- (\frac{1}{4} u^{4}]_{1}^{\frac{1}{2}})$

Bước 4

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Tính $\frac{1}{4} u^{4}$ tại $\frac{1}{2}$ và tại $1$ .

$- ((\frac{1}{4} {(\frac{1}{2})}^{4}) - \frac{1}{4} \cdot 1^{4})$

Bước 4.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Viết lại $\frac{1}{4}$ ở dạng $4^{- 1}$ .

$- (4^{- 1} {(\frac{1}{2})}^{4} - \frac{1}{4} \cdot 1^{4})$

Bước 4.2.2

Viết lại $4$ ở dạng $2^{2}$ .

$- ({(2^{2})}^{- 1} {(\frac{1}{2})}^{4} - \frac{1}{4} \cdot 1^{4})$

Bước 4.2.3

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- (2^{2 \cdot - 1} {(\frac{1}{2})}^{4} - \frac{1}{4} \cdot 1^{4})$

Bước 4.2.4

Nhân $2$ với $- 1$ .

$- (2^{- 2} {(\frac{1}{2})}^{4} - \frac{1}{4} \cdot 1^{4})$

Bước 4.2.5

Viết lại $\frac{1}{2}$ ở dạng $2^{- 1}$ .

$- (2^{- 2} {(2^{- 1})}^{4} - \frac{1}{4} \cdot 1^{4})$

Bước 4.2.6

Nâng $2$ lên lũy thừa $1$ .

$- (2^{- 2} {({(2^{1})}^{- 1})}^{4} - \frac{1}{4} \cdot 1^{4})$

Bước 4.2.7

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- (2^{- 2} {(2^{1 \cdot - 1})}^{4} - \frac{1}{4} \cdot 1^{4})$

Bước 4.2.8

Nhân $- 1$ với $1$ .

$- (2^{- 2} {(2^{- 1})}^{4} - \frac{1}{4} \cdot 1^{4})$

Bước 4.2.9

Nhân các số mũ trong ${(2^{- 1})}^{4}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.9.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- (2^{- 2} \cdot 2^{- 1 \cdot 4} - \frac{1}{4} \cdot 1^{4})$

Bước 4.2.9.2

Nhân $- 1$ với $4$ .

$- (2^{- 2} \cdot 2^{- 4} - \frac{1}{4} \cdot 1^{4})$

Bước 4.2.10

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$- (2^{- 2 - 4} - \frac{1}{4} \cdot 1^{4})$

Bước 4.2.11

Trừ $4$ khỏi $- 2$ .

$- (2^{- 6} - \frac{1}{4} \cdot 1^{4})$

Bước 4.2.12

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- (\frac{1}{2^{6}} - \frac{1}{4} \cdot 1^{4})$

Bước 4.2.13

Nâng $2$ lên lũy thừa $6$ .

$- (\frac{1}{64} - \frac{1}{4} \cdot 1^{4})$

Bước 4.3

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$- (\frac{1}{64} - \frac{1}{4} \cdot 1)$

Bước 4.3.2

Nhân $- 1$ với $1$ .

$- (\frac{1}{64} - \frac{1}{4})$

Bước 4.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.4.1

Để viết $- \frac{1}{4}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{16}{16}$ .

$- (\frac{1}{64} - \frac{1}{4} \cdot \frac{16}{16})$

Bước 4.4.2

Viết mỗi biểu thức với mẫu số chung là $64$ , bằng cách nhân từng biểu thức với một thừa số thích hợp của $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.4.2.1

Nhân $\frac{1}{4}$ với $\frac{16}{16}$ .

$- (\frac{1}{64} - \frac{16}{4 \cdot 16})$

Bước 4.4.2.2

Nhân $4$ với $16$ .

$- (\frac{1}{64} - \frac{16}{64})$

Bước 4.4.3

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$- \frac{1 - 16}{64}$

Bước 4.4.4

Trừ $16$ khỏi $1$ .

$- \frac{- 15}{64}$

Bước 4.4.5

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- - \frac{15}{64}$

Bước 4.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.5.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$1 (\frac{15}{64})$

Bước 4.5.2

Nhân $\frac{15}{64}$ với $1$ .

$\frac{15}{64}$

Bước 5

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$\frac{15}{64}$

Dạng thập phân:

$0.234375$