Giải tích Ví dụ

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \frac{\sin (t)}{\cos^{2} (t)} d t$

Bước 1

Giả sử $u = \cos (t)$ . Sau đó $d u = - \sin (t) d t$ , nên $- d u = \sin (t) d t$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Hãy đặt $u = \cos (t)$ . Tìm $\frac{d u}{d t}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Tính đạo hàm $\cos (t)$ .

$\frac{d}{d t} [\cos (t)]$

Bước 1.1.2

Đạo hàm của $\cos (t)$ đối với $t$ là $- \sin (t)$ .

$- \sin (t)$

Bước 1.2

Thay giới hạn dưới vào cho $t$ trong $u = \cos (t)$ .

$u_{lower} = \cos (0)$

Bước 1.3

Giá trị chính xác của $\cos (0)$ là $1$ .

$u_{lower} = 1$

Bước 1.4

Thay giới hạn trên vào cho $t$ trong $u = \cos (t)$ .

$u_{upper} = \cos (\frac{π}{4})$

Bước 1.5

Giá trị chính xác của $\cos (\frac{π}{4})$ là $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$u_{upper} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Bước 1.6

Các giá trị tìm được cho $u_{lower}$ và $u_{upper}$ sẽ được sử dụng để tính tích phân xác định.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Bước 1.7

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ , $d u$ , và các giới hạn mới của phép tích phân.

$\int_{1}^{\frac{\sqrt{2}}{2}} \frac{- 1}{u^{2}} d u$

Bước 2

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\int_{1}^{\frac{\sqrt{2}}{2}} - \frac{1}{u^{2}} d u$

Bước 3

Vì $- 1$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$- \int_{1}^{\frac{\sqrt{2}}{2}} \frac{1}{u^{2}} d u$

Bước 4

Áp dụng các quy tắc số mũ cơ bản.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Di chuyển $u^{2}$ ra ngoài mẫu số bằng cách nâng nó lên lũy thừa $- 1$ .

$- \int_{1}^{\frac{\sqrt{2}}{2}} {(u^{2})}^{- 1} d u$

Bước 4.2

Nhân các số mũ trong ${(u^{2})}^{- 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \int_{1}^{\frac{\sqrt{2}}{2}} u^{2 \cdot - 1} d u$

Bước 4.2.2

Nhân $2$ với $- 1$ .

$- \int_{1}^{\frac{\sqrt{2}}{2}} u^{- 2} d u$

Bước 5

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u^{- 2}$ đối với $u$ là $- u^{- 1}$ .

$- (- u^{- 1}]_{1}^{\frac{\sqrt{2}}{2}})$

Bước 6

Tính $- u^{- 1}$ tại $\frac{\sqrt{2}}{2}$ và tại $1$ .

$- ((- {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{- 1}) + 1^{- 1})$

Bước 7

Thay đổi dấu của số mũ bằng cách viết lại cơ số ở dạng nghịch đảo của nó.

$- (- \frac{2}{\sqrt{2}} + 1^{- 1})$

Bước 8

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$- (- \frac{2}{\sqrt{2}} + 1)$

Bước 9

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$- (- \frac{2}{\sqrt{2}} + 1)$

Dạng thập phân:

$0.41421356 \dots$