Giải tích Ví dụ

$\int (2 x + 1) \sqrt{x - 5} d x$

Bước 1

Giả sử $u = x - 5$ . Sau đó $d u = d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Hãy đặt $u = x - 5$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Tính đạo hàm $x - 5$ .

$\frac{d}{d x} [x - 5]$

Bước 1.1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x - 5$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Bước 1.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 5]$

Bước 1.1.4

Vì $- 5$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 5$ đối với $x$ là $0$ .

$1 + 0$

Bước 1.1.5

Cộng $1$ và $0$ .

$1$

Bước 1.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$\int (2 (u + 5) + 1) \sqrt{u} d u$

Bước 2

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{u}$ ở dạng $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\int (2 (u + 5) + 1) u^{\frac{1}{2}} d u$

Bước 3

Khai triển $(2 (u + 5) + 1) u^{\frac{1}{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\int (2 u + 2 \cdot 5 + 1) u^{\frac{1}{2}} d u$

Bước 3.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\int (2 u + 2 \cdot 5) u^{\frac{1}{2}} + 1 u^{\frac{1}{2}} d u$

Bước 3.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\int 2 u \cdot u^{\frac{1}{2}} + 2 \cdot 5 u^{\frac{1}{2}} + 1 u^{\frac{1}{2}} d u$

Bước 3.4

Nâng $u$ lên lũy thừa $1$ .

$\int 2 (u^{1} u^{\frac{1}{2}}) + 2 \cdot 5 u^{\frac{1}{2}} + 1 u^{\frac{1}{2}} d u$

Bước 3.5

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\int 2 u^{1 + \frac{1}{2}} + 2 \cdot 5 u^{\frac{1}{2}} + 1 u^{\frac{1}{2}} d u$

Bước 3.6

Viết $1$ ở dạng một phân số với một mẫu số chung.

$\int 2 u^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}} + 2 \cdot 5 u^{\frac{1}{2}} + 1 u^{\frac{1}{2}} d u$

Bước 3.7

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\int 2 u^{\frac{2 + 1}{2}} + 2 \cdot 5 u^{\frac{1}{2}} + 1 u^{\frac{1}{2}} d u$

Bước 3.8

Cộng $2$ và $1$ .

$\int 2 u^{\frac{3}{2}} + 2 \cdot 5 u^{\frac{1}{2}} + 1 u^{\frac{1}{2}} d u$

Bước 3.9

Nhân $2$ với $5$ .

$\int 2 u^{\frac{3}{2}} + 10 u^{\frac{1}{2}} + 1 u^{\frac{1}{2}} d u$

Bước 3.10

Nhân $u^{\frac{1}{2}}$ với $1$ .

$\int 2 u^{\frac{3}{2}} + 10 u^{\frac{1}{2}} + u^{\frac{1}{2}} d u$

Bước 3.11

Cộng $10 u^{\frac{1}{2}}$ và $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\int 2 u^{\frac{3}{2}} + 11 u^{\frac{1}{2}} d u$

Bước 3.12

Sắp xếp lại $2 u^{\frac{3}{2}}$ và $11 u^{\frac{1}{2}}$ .

$\int 11 u^{\frac{1}{2}} + 2 u^{\frac{3}{2}} d u$

Bước 4

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\int 11 u^{\frac{1}{2}} d u + \int 2 u^{\frac{3}{2}} d u$

Bước 5

Vì $11$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $11$ ra khỏi tích phân.

$11 \int u^{\frac{1}{2}} d u + \int 2 u^{\frac{3}{2}} d u$

Bước 6

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u^{\frac{1}{2}}$ đối với $u$ là $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$11 (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C) + \int 2 u^{\frac{3}{2}} d u$

Bước 7

Vì $2$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $2$ ra khỏi tích phân.

$11 (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C) + 2 \int u^{\frac{3}{2}} d u$

Bước 8

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u^{\frac{3}{2}}$ đối với $u$ là $\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}$ .

$11 (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C) + 2 (\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C)$

Bước 9

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Rút gọn.

$11 (\frac{2}{3}) u^{\frac{3}{2}} + 2 (\frac{2}{5}) u^{\frac{5}{2}} + C$

Bước 9.2

Viết lại $11 (\frac{2}{3}) u^{\frac{3}{2}} + 2 (\frac{2}{5}) u^{\frac{5}{2}} + C$ ở dạng $\frac{22}{3} u^{\frac{3}{2}} + 2 (\frac{2}{5}) u^{\frac{5}{2}} + C$ .

$\frac{22}{3} u^{\frac{3}{2}} + 2 (\frac{2}{5}) u^{\frac{5}{2}} + C$

Bước 9.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.3.1

Kết hợp $2$ và $\frac{2}{5}$ .

$\frac{22}{3} u^{\frac{3}{2}} + \frac{2 \cdot 2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C$

Bước 9.3.2

Nhân $2$ với $2$ .

$\frac{22}{3} u^{\frac{3}{2}} + \frac{4}{5} u^{\frac{5}{2}} + C$

Bước 10

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $x - 5$ .

$\frac{22}{3} {(x - 5)}^{\frac{3}{2}} + \frac{4}{5} {(x - 5)}^{\frac{5}{2}} + C$