Giải tích Ví dụ

$\int_{0}^{1} x e^{- x^{2}} d x$

Bước 1

Giả sử $u_{2} = e^{- x^{2}}$ . Sau đó $d u_{2} = - 2 x e^{- x^{2}} d x$ , nên $- \frac{1}{2} d u_{2} = x e^{- x^{2}} d x$ . Viết lại bằng $u_{2}$ và $d$ $u_{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Hãy đặt $u_{2} = e^{- x^{2}}$ . Tìm $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Tính đạo hàm $e^{- x^{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{- x^{2}}]$

Bước 1.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = e^{x}$ và $g (x) = - x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{1}$ ở dạng $- x^{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Bước 1.1.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ là $a^{u_{1}} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Bước 1.1.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $- x^{2}$ .

$e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Bước 1.1.3

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.3.1

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- x^{2}$ đối với $x$ là $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$e^{- x^{2}} (- \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Bước 1.1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$e^{- x^{2}} (- (2 x))$

Bước 1.1.3.3

Nhân $2$ với $- 1$ .

$e^{- x^{2}} (- 2 x)$

Bước 1.1.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.4.1

Sắp xếp lại các thừa số của $e^{- x^{2}} (- 2 x)$ .

$- 2 e^{- x^{2}} x$

Bước 1.1.4.2

Sắp xếp lại các thừa số trong $- 2 e^{- x^{2}} x$ .

$- 2 x e^{- x^{2}}$

Bước 1.2

Thay giới hạn dưới vào cho $x$ trong $u_{2} = e^{- x^{2}}$ .

$u_{lower} = e^{- 0^{2}}$

Bước 1.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$u_{lower} = e^{- 0}$

Bước 1.3.2

Nhân $- 1$ với $0$ .

$u_{lower} = e^{0}$

Bước 1.3.3

Bất kỳ đại lượng nào mũ $0$ lên đều là $1$ .

$u_{lower} = 1$

Bước 1.4

Thay giới hạn trên vào cho $x$ trong $u_{2} = e^{- x^{2}}$ .

$u_{upper} = e^{- 1^{2}}$

Bước 1.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.1

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$u_{upper} = e^{- 1 \cdot 1}$

Bước 1.5.2

Nhân $- 1$ với $1$ .

$u_{upper} = e^{- 1}$

Bước 1.5.3

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$u_{upper} = \frac{1}{e}$

Bước 1.6

Các giá trị tìm được cho $u_{lower}$ và $u_{upper}$ sẽ được sử dụng để tính tích phân xác định.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = \frac{1}{e}$

Bước 1.7

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u_{2}$ , $d u_{2}$ , và các giới hạn mới của phép tích phân.

$\int_{1}^{\frac{1}{e}} \frac{1}{- 2} d u_{2}$

Bước 2

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\int_{1}^{\frac{1}{e}} - \frac{1}{2} d u_{2}$

Bước 3

Áp dụng quy tắc hằng số.

$- \frac{1}{2} u_{2}]_{1}^{\frac{1}{e}}$

Bước 4

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Tính $- \frac{1}{2} u_{2}$ tại $\frac{1}{e}$ và tại $1$ .

$(- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{e}) + \frac{1}{2} \cdot 1$

Bước 4.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Nhân $\frac{1}{e}$ với $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{e \cdot 2} + \frac{1}{2} \cdot 1$

Bước 4.2.2

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $e$ .

$- \frac{1}{2 e} + \frac{1}{2} \cdot 1$

Bước 4.3

Nhân $\frac{1}{2}$ với $1$ .

$- \frac{1}{2 e} + \frac{1}{2}$

Bước 5

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$- \frac{1}{2 e} + \frac{1}{2}$

Dạng thập phân:

$0.31606027 \dots$