Giải tích Ví dụ

$\int_{1}^{2} 2 x^{2} \sqrt{x^{3} + 1} d x$

Bước 1

Giả sử $u = x^{3} + 1$ . Sau đó $d u = 3 x^{2} d x$ , nên $\frac{1}{3} d u = x^{2} d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Hãy đặt $u = x^{3} + 1$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Tính đạo hàm $x^{3} + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3} + 1]$

Bước 1.1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x^{3} + 1$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [1]$

Bước 1.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [1]$

Bước 1.1.4

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$3 x^{2} + 0$

Bước 1.1.5

Cộng $3 x^{2}$ và $0$ .

$3 x^{2}$

Bước 1.2

Thay giới hạn dưới vào cho $x$ trong $u = x^{3} + 1$ .

$u_{lower} = 1^{3} + 1$

Bước 1.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$u_{lower} = 1 + 1$

Bước 1.3.2

Cộng $1$ và $1$ .

$u_{lower} = 2$

Bước 1.4

Thay giới hạn trên vào cho $x$ trong $u = x^{3} + 1$ .

$u_{upper} = 2^{3} + 1$

Bước 1.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.1

Nâng $2$ lên lũy thừa $3$ .

$u_{upper} = 8 + 1$

Bước 1.5.2

Cộng $8$ và $1$ .

$u_{upper} = 9$

Bước 1.6

Các giá trị tìm được cho $u_{lower}$ và $u_{upper}$ sẽ được sử dụng để tính tích phân xác định.

$u_{lower} = 2$

$u_{upper} = 9$

Bước 1.7

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ , $d u$ , và các giới hạn mới của phép tích phân.

$\int_{2}^{9} 2 \sqrt{u} \frac{1}{3} d u$

Bước 2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Kết hợp $\frac{1}{3}$ và $2$ .

$\int_{2}^{9} \frac{2}{3} \sqrt{u} d u$

Bước 2.2

Kết hợp $\frac{2}{3}$ và $\sqrt{u}$ .

$\int_{2}^{9} \frac{2 \sqrt{u}}{3} d u$

Bước 3

Vì $\frac{2}{3}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{2}{3}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{2}{3} \int_{2}^{9} \sqrt{u} d u$

Bước 4

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{u}$ ở dạng $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2}{3} \int_{2}^{9} u^{\frac{1}{2}} d u$

Bước 5

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u^{\frac{1}{2}}$ đối với $u$ là $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2}{3} \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{2}^{9}$

Bước 6

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Tính $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ tại $9$ và tại $2$ .

$\frac{2}{3} ((\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 2^{\frac{3}{2}})$

Bước 6.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1

Viết lại $9$ ở dạng $3^{2}$ .

$\frac{2}{3} (\frac{2}{3} \cdot {(3^{2})}^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 2^{\frac{3}{2}})$

Bước 6.2.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2}{3} (\frac{2}{3} \cdot 3^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 2^{\frac{3}{2}})$

Bước 6.2.3

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.3.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2}{3} (\frac{2}{3} \cdot 3^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 2^{\frac{3}{2}})$

Bước 6.2.3.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{2}{3} (\frac{2}{3} \cdot 3^{3} - \frac{2}{3} \cdot 2^{\frac{3}{2}})$

Bước 6.2.4

Nâng $3$ lên lũy thừa $3$ .

$\frac{2}{3} (\frac{2}{3} \cdot 27 - \frac{2}{3} \cdot 2^{\frac{3}{2}})$

Bước 6.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.1

Kết hợp $\frac{2}{3}$ và $27$ .

$\frac{2}{3} (\frac{2 \cdot 27}{3} - \frac{2}{3} \cdot 2^{\frac{3}{2}})$

Bước 6.3.2

Nhân $2$ với $27$ .

$\frac{2}{3} (\frac{54}{3} - \frac{2}{3} \cdot 2^{\frac{3}{2}})$

Bước 6.3.3

Triệt tiêu thừa số chung của $54$ và $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.3.1

Đưa $3$ ra ngoài $54$ .

$\frac{2}{3} (\frac{3 \cdot 18}{3} - \frac{2}{3} \cdot 2^{\frac{3}{2}})$

Bước 6.3.3.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.3.2.1

Đưa $3$ ra ngoài $3$ .

$\frac{2}{3} (\frac{3 \cdot 18}{3 (1)} - \frac{2}{3} \cdot 2^{\frac{3}{2}})$

Bước 6.3.3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2}{3} (\frac{3 \cdot 18}{3 \cdot 1} - \frac{2}{3} \cdot 2^{\frac{3}{2}})$

Bước 6.3.3.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{2}{3} (\frac{18}{1} - \frac{2}{3} \cdot 2^{\frac{3}{2}})$

Bước 6.3.3.2.4

Chia $18$ cho $1$ .

$\frac{2}{3} (18 - \frac{2}{3} \cdot 2^{\frac{3}{2}})$

Bước 6.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.4.1

Kết hợp $2^{\frac{3}{2}}$ và $\frac{2}{3}$ .

$\frac{2}{3} (18 - \frac{2^{\frac{3}{2}} \cdot 2}{3})$

Bước 6.4.2

Nhân $2^{\frac{3}{2}}$ với $2$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.4.2.1

Nhân $2^{\frac{3}{2}}$ với $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.4.2.1.1

Nâng $2$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{2}{3} (18 - \frac{2^{\frac{3}{2}} \cdot 2^{1}}{3})$

Bước 6.4.2.1.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{2}{3} (18 - \frac{2^{\frac{3}{2} + 1}}{3})$

Bước 6.4.2.2

Viết $1$ ở dạng một phân số với một mẫu số chung.

$\frac{2}{3} (18 - \frac{2^{\frac{3}{2} + \frac{2}{2}}}{3})$

Bước 6.4.2.3

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{2}{3} (18 - \frac{2^{\frac{3 + 2}{2}}}{3})$

Bước 6.4.2.4

Cộng $3$ và $2$ .

$\frac{2}{3} (18 - \frac{2^{\frac{5}{2}}}{3})$

Bước 7

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$\frac{2}{3} \cdot (18 - \frac{2^{\frac{5}{2}}}{3})$

Dạng thập phân:

$10.74292127 \dots$