Giải tích Ví dụ

$\int \frac{x}{x + 1} d x$

Bước 1

Giả sử $u = x + 1$ . Sau đó $d u = d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Hãy đặt $u = x + 1$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Tính đạo hàm $x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

Bước 1.1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x + 1$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Bước 1.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

Bước 1.1.4

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$1 + 0$

Bước 1.1.5

Cộng $1$ và $0$ .

$1$

Bước 1.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$\int \frac{u - 1}{u} d u$

Bước 2

Chia phân số thành nhiều phân số.

$\int \frac{u}{u} + \frac{- 1}{u} d u$

Bước 3

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\int \frac{u}{u} d u + \int \frac{- 1}{u} d u$

Bước 4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Triệt tiêu thừa số chung $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\int \frac{u}{u} d u + \int \frac{- 1}{u} d u$

Bước 4.1.2

Viết lại biểu thức.

$\int d u + \int \frac{- 1}{u} d u$

Bước 4.2

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\int d u + \int - \frac{1}{u} d u$

Bước 5

Áp dụng quy tắc hằng số.

$u + C + \int - \frac{1}{u} d u$

Bước 6

Vì $- 1$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$u + C - \int \frac{1}{u} d u$

Bước 7

Tích phân của $\frac{1}{u}$ đối với $u$ là $\ln (| u |)$ .

$u + C - (\ln (| u |) + C)$

Bước 8

Rút gọn.

$u - \ln (| u |) + C$

Bước 9

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $x + 1$ .

$x + 1 - \ln (| x + 1 |) + C$