Giải tích Ví dụ

$\int (3 y - 1) \sqrt{3 y^{2} - 2 y} d y$

Bước 1

Giả sử $u = 3 y^{2} - 2 y$ . Sau đó $d u = (6 y - 2) d y$ , nên $\frac{1}{2} d u = (3 y - 1) d y$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Hãy đặt $u = 3 y^{2} - 2 y$ . Tìm $\frac{d u}{d y}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Tính đạo hàm $3 y^{2} - 2 y$ .

$\frac{d}{d y} [3 y^{2} - 2 y]$

Bước 1.1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $3 y^{2} - 2 y$ đối với $y$ là $\frac{d}{d y} [3 y^{2}] + \frac{d}{d y} [- 2 y]$ .

$\frac{d}{d y} [3 y^{2}] + \frac{d}{d y} [- 2 y]$

Bước 1.1.3

Tính $\frac{d}{d y} [3 y^{2}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.3.1

Vì $3$ không đổi đối với $y$ , nên đạo hàm của $3 y^{2}$ đối với $y$ là $3 \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$3 \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [- 2 y]$

Bước 1.1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ là $n y^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$3 (2 y) + \frac{d}{d y} [- 2 y]$

Bước 1.1.3.3

Nhân $2$ với $3$ .

$6 y + \frac{d}{d y} [- 2 y]$

Bước 1.1.4

Tính $\frac{d}{d y} [- 2 y]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.4.1

Vì $- 2$ không đổi đối với $y$ , nên đạo hàm của $- 2 y$ đối với $y$ là $- 2 \frac{d}{d y} [y]$ .

$6 y - 2 \frac{d}{d y} [y]$

Bước 1.1.4.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ là $n y^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$6 y - 2 \cdot 1$

Bước 1.1.4.3

Nhân $- 2$ với $1$ .

$6 y - 2$

Bước 1.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$\int \sqrt{u} \frac{1}{2} d u$

Bước 2

Kết hợp $\sqrt{u}$ và $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{\sqrt{u}}{2} d u$

Bước 3

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{2} \int \sqrt{u} d u$

Bước 4

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{u}$ ở dạng $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} \int u^{\frac{1}{2}} d u$

Bước 5

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u^{\frac{1}{2}}$ đối với $u$ là $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$

Bước 6

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Viết lại $\frac{1}{2} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$ ở dạng $\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

Bước 6.2

Viết lại $\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$ ở dạng $\frac{1}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$ .

$\frac{1}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

Bước 7

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $3 y^{2} - 2 y$ .

$\frac{1}{3} {(3 y^{2} - 2 y)}^{\frac{3}{2}} + C$