Giải tích Ví dụ

$\int_{- 1}^{1} x {(x^{2} + 1)}^{3} d x$

Bước 1

Giả sử $u = x^{2} + 1$ . Sau đó $d u = 2 x d x$ , nên $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Hãy đặt $u = x^{2} + 1$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Tính đạo hàm $x^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Bước 1.1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x^{2} + 1$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Bước 1.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [1]$

Bước 1.1.4

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$2 x + 0$

Bước 1.1.5

Cộng $2 x$ và $0$ .

$2 x$

Bước 1.2

Thay giới hạn dưới vào cho $x$ trong $u = x^{2} + 1$ .

$u_{lower} = {(- 1)}^{2} + 1$

Bước 1.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Nâng $- 1$ lên lũy thừa $2$ .

$u_{lower} = 1 + 1$

Bước 1.3.2

Cộng $1$ và $1$ .

$u_{lower} = 2$

Bước 1.4

Thay giới hạn trên vào cho $x$ trong $u = x^{2} + 1$ .

$u_{upper} = 1^{2} + 1$

Bước 1.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.1

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$u_{upper} = 1 + 1$

Bước 1.5.2

Cộng $1$ và $1$ .

$u_{upper} = 2$

Bước 1.6

Các giá trị tìm được cho $u_{lower}$ và $u_{upper}$ sẽ được sử dụng để tính tích phân xác định.

$u_{lower} = 2$

$u_{upper} = 2$

Bước 1.7

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ , $d u$ , và các giới hạn mới của phép tích phân.

$\int_{2}^{2} u^{3} \frac{1}{2} d u$

Bước 2

Kết hợp $u^{3}$ và $\frac{1}{2}$ .

$\int_{2}^{2} \frac{u^{3}}{2} d u$

Bước 3

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{2} \int_{2}^{2} u^{3} d u$

Bước 4

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u^{3}$ đối với $u$ là $\frac{1}{4} u^{4}$ .

$\frac{1}{2} \frac{1}{4} u^{4}]_{2}^{2}$

Bước 5

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Tính $\frac{1}{4} u^{4}$ tại $2$ và tại $2$ .

$\frac{1}{2} ((\frac{1}{4} \cdot 2^{4}) - \frac{1}{4} \cdot 2^{4})$

Bước 5.2

Nâng $2$ lên lũy thừa $4$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{4} \cdot 16 - \frac{1}{4} \cdot 2^{4})$

Bước 5.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Kết hợp $\frac{1}{4}$ và $16$ .

$\frac{1}{2} (\frac{16}{4} - \frac{1}{4} \cdot 2^{4})$

Bước 5.3.2

Triệt tiêu thừa số chung của $16$ và $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.2.1

Đưa $4$ ra ngoài $16$ .

$\frac{1}{2} (\frac{4 \cdot 4}{4} - \frac{1}{4} \cdot 2^{4})$

Bước 5.3.2.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.2.2.1

Đưa $4$ ra ngoài $4$ .

$\frac{1}{2} (\frac{4 \cdot 4}{4 (1)} - \frac{1}{4} \cdot 2^{4})$

Bước 5.3.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{2} (\frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 1} - \frac{1}{4} \cdot 2^{4})$

Bước 5.3.2.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{2} (\frac{4}{1} - \frac{1}{4} \cdot 2^{4})$

Bước 5.3.2.2.4

Chia $4$ cho $1$ .

$\frac{1}{2} (4 - \frac{1}{4} \cdot 2^{4})$

Bước 5.4

Nâng $2$ lên lũy thừa $4$ .

$\frac{1}{2} (4 - \frac{1}{4} \cdot 16)$

Bước 5.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.1

Nhân $16$ với $- 1$ .

$\frac{1}{2} (4 - 16 (\frac{1}{4}))$

Bước 5.5.2

Kết hợp $- 16$ và $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{2} (4 + \frac{- 16}{4})$

Bước 5.5.3

Triệt tiêu thừa số chung của $- 16$ và $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.3.1

Đưa $4$ ra ngoài $- 16$ .

$\frac{1}{2} (4 + \frac{4 \cdot - 4}{4})$

Bước 5.5.3.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.3.2.1

Đưa $4$ ra ngoài $4$ .

$\frac{1}{2} (4 + \frac{4 \cdot - 4}{4 (1)})$

Bước 5.5.3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{2} (4 + \frac{4 \cdot - 4}{4 \cdot 1})$

Bước 5.5.3.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{2} (4 + \frac{- 4}{1})$

Bước 5.5.3.2.4

Chia $- 4$ cho $1$ .

$\frac{1}{2} (4 - 4)$

Bước 5.6

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.6.1

Trừ $4$ khỏi $4$ .

$\frac{1}{2} \cdot 0$

Bước 5.6.2

Nhân $\frac{1}{2}$ với $0$ .

$0$