Giải tích Ví dụ

$\int 8 x \sqrt{1 - x^{2}} d x$

Bước 1

Giả sử $u = 1 - x^{2}$ . Sau đó $d u = - 2 x d x$ , nên $\frac{1}{- 2 x} d u = d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Hãy đặt $u = 1 - x^{2}$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Tính đạo hàm $1 - x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [1 - x^{2}]$

Bước 1.1.2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $1 - x^{2}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Bước 1.1.2.2

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Bước 1.1.3

Tính $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.3.1

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- x^{2}$ đối với $x$ là $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$0 - \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Bước 1.1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$0 - (2 x)$

Bước 1.1.3.3

Nhân $2$ với $- 1$ .

$0 - 2 x$

Bước 1.1.4

Trừ $2 x$ khỏi $0$ .

$- 2 x$

Bước 1.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$\int - 4 \sqrt{u} d u$

Bước 2

Vì $- 4$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $- 4$ ra khỏi tích phân.

$- 4 \int \sqrt{u} d u$

Bước 3

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{u}$ ở dạng $u^{\frac{1}{2}}$ .

$- 4 \int u^{\frac{1}{2}} d u$

Bước 4

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u^{\frac{1}{2}}$ đối với $u$ là $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$- 4 (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$

Bước 5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Viết lại $- 4 (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$ ở dạng $- 4 (\frac{2}{3}) u^{\frac{3}{2}} + C$ .

$- 4 (\frac{2}{3}) u^{\frac{3}{2}} + C$

Bước 5.2

Viết lại $- 4 (\frac{2}{3}) u^{\frac{3}{2}} + C$ ở dạng $\frac{- 8}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$ .

$\frac{- 8}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

Bước 5.3

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{8}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

Bước 6

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $1 - x^{2}$ .

$- \frac{8}{3} {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} + C$