Giải tích Ví dụ

$\int \frac{x^{2}}{\sqrt{9 - x^{2}}} d x$

Bước 1

Giả sử $x = 3 \sin (t)$ , trong đó $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Sau đó $d x = 3 \cos (t) d t$ . Lưu ý rằng vì $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , nên $3 \cos (t)$ dương.

$\int \frac{{(3 \sin (t))}^{2}}{\sqrt{9 - {(3 \sin (t))}^{2}}} (3 \cos (t)) d t$

Bước 2

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Rút gọn $\sqrt{9 - {(3 \sin (t))}^{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1.1

Áp dụng quy tắc tích số cho $3 \sin (t)$ .

$\int \frac{{(3 \sin (t))}^{2}}{\sqrt{9 - (3^{2} \sin^{2} (t))}} (3 \cos (t)) d t$

Bước 2.1.1.2

Nâng $3$ lên lũy thừa $2$ .

$\int \frac{{(3 \sin (t))}^{2}}{\sqrt{9 - (9 \sin^{2} (t))}} (3 \cos (t)) d t$

Bước 2.1.1.3

Nhân $9$ với $- 1$ .

$\int \frac{{(3 \sin (t))}^{2}}{\sqrt{9 - 9 \sin^{2} (t)}} (3 \cos (t)) d t$

Bước 2.1.2

Đưa $9$ ra ngoài $9$ .

$\int \frac{{(3 \sin (t))}^{2}}{\sqrt{9 (1) - 9 \sin^{2} (t)}} (3 \cos (t)) d t$

Bước 2.1.3

Đưa $9$ ra ngoài $- 9 \sin^{2} (t)$ .

$\int \frac{{(3 \sin (t))}^{2}}{\sqrt{9 (1) + 9 (- \sin^{2} (t))}} (3 \cos (t)) d t$

Bước 2.1.4

Đưa $9$ ra ngoài $9 (1) + 9 (- \sin^{2} (t))$ .

$\int \frac{{(3 \sin (t))}^{2}}{\sqrt{9 (1 - \sin^{2} (t))}} (3 \cos (t)) d t$

Bước 2.1.5

Áp dụng đẳng thức pytago.

$\int \frac{{(3 \sin (t))}^{2}}{\sqrt{9 \cos^{2} (t)}} (3 \cos (t)) d t$

Bước 2.1.6

Viết lại $9 \cos^{2} (t)$ ở dạng ${(3 \cos (t))}^{2}$ .

$\int \frac{{(3 \sin (t))}^{2}}{\sqrt{{(3 \cos (t))}^{2}}} (3 \cos (t)) d t$

Bước 2.1.7

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực dương.

$\int \frac{{(3 \sin (t))}^{2}}{3 \cos (t)} (3 \cos (t)) d t$

Bước 2.2

Rút gọn biểu thức bằng cách triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $3 \cos (t)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\int \frac{{(3 \sin (t))}^{2}}{3 \cos (t)} (3 \cos (t)) d t$

Bước 2.2.1.2

Viết lại biểu thức.

$\int {(3 \sin (t))}^{2} d t$

Bước 2.2.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.2.1

Đưa $3$ ra ngoài $3 \sin (t)$ .

$\int {(3 (\sin (t)))}^{2} d t$

Bước 2.2.2.2

Áp dụng quy tắc tích số cho $3 (\sin (t))$ .

$\int 3^{2} \sin^{2} (t) d t$

Bước 2.2.2.3

Nâng $3$ lên lũy thừa $2$ .

$\int 9 \sin^{2} (t) d t$

Bước 3

Vì $9$ không đổi đối với $t$ , hãy di chuyển $9$ ra khỏi tích phân.

$9 \int \sin^{2} (t) d t$

Bước 4

Sử dụng công thức góc chia đôi để viết lại $\sin^{2} (t)$ ở dạng $\frac{1 - \cos (2 t)}{2}$ .

$9 \int \frac{1 - \cos (2 t)}{2} d t$

Bước 5

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $t$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$9 (\frac{1}{2} \int 1 - \cos (2 t) d t)$

Bước 6

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $9$ .

$\frac{9}{2} \int 1 - \cos (2 t) d t$

Bước 7

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\frac{9}{2} (\int d t + \int - \cos (2 t) d t)$

Bước 8

Áp dụng quy tắc hằng số.

$\frac{9}{2} (t + C + \int - \cos (2 t) d t)$

Bước 9

Vì $- 1$ không đổi đối với $t$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$\frac{9}{2} (t + C - \int \cos (2 t) d t)$

Bước 10

Giả sử $u = 2 t$ . Sau đó $d u = 2 d t$ , nên $\frac{1}{2} d u = d t$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Hãy đặt $u = 2 t$ . Tìm $\frac{d u}{d t}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1.1

Tính đạo hàm $2 t$ .

$\frac{d}{d t} [2 t]$

Bước 10.1.2

Vì $2$ không đổi đối với $t$ , nên đạo hàm của $2 t$ đối với $t$ là $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$2 \frac{d}{d t} [t]$

Bước 10.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ là $n t^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Bước 10.1.4

Nhân $2$ với $1$ .

$2$

Bước 10.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$\frac{9}{2} (t + C - \int \cos (u) \frac{1}{2} d u)$

Bước 11

Kết hợp $\cos (u)$ và $\frac{1}{2}$ .

$\frac{9}{2} (t + C - \int \frac{\cos (u)}{2} d u)$

Bước 12

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{9}{2} (t + C - (\frac{1}{2} \int \cos (u) d u))$

Bước 13

Tích phân của $\cos (u)$ đối với $u$ là $\sin (u)$ .

$\frac{9}{2} (t + C - \frac{1}{2} (\sin (u) + C))$

Bước 14

Rút gọn.

$\frac{9}{2} (t - \frac{1}{2} \sin (u)) + C$

Bước 15

Thay trở lại cho mỗi biến thay thế tích phân.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.1

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $t$ với $\arcsin (\frac{x}{3})$ .

$\frac{9}{2} (\arcsin (\frac{x}{3}) - \frac{1}{2} \sin (u)) + C$

Bước 15.2

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $2 t$ .

$\frac{9}{2} (\arcsin (\frac{x}{3}) - \frac{1}{2} \sin (2 t)) + C$

Bước 15.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $t$ với $\arcsin (\frac{x}{3})$ .

$\frac{9}{2} (\arcsin (\frac{x}{3}) - \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (\frac{x}{3}))) + C$

Bước 16

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 16.1

Kết hợp $\sin (2 \arcsin (\frac{x}{3}))$ và $\frac{1}{2}$ .

$\frac{9}{2} (\arcsin (\frac{x}{3}) - \frac{\sin (2 \arcsin (\frac{x}{3}))}{2}) + C$

Bước 16.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{9}{2} \arcsin (\frac{x}{3}) + \frac{9}{2} (- \frac{\sin (2 \arcsin (\frac{x}{3}))}{2}) + C$

Bước 16.3

Kết hợp $\frac{9}{2}$ và $\arcsin (\frac{x}{3})$ .

$\frac{9 \arcsin (\frac{x}{3})}{2} + \frac{9}{2} (- \frac{\sin (2 \arcsin (\frac{x}{3}))}{2}) + C$

Bước 16.4

Nhân $\frac{9}{2} (- \frac{\sin (2 \arcsin (\frac{x}{3}))}{2})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 16.4.1

Nhân $\frac{9}{2}$ với $\frac{\sin (2 \arcsin (\frac{x}{3}))}{2}$ .

$\frac{9 \arcsin (\frac{x}{3})}{2} - \frac{9 \sin (2 \arcsin (\frac{x}{3}))}{2 \cdot 2} + C$

Bước 16.4.2

Nhân $2$ với $2$ .

$\frac{9 \arcsin (\frac{x}{3})}{2} - \frac{9 \sin (2 \arcsin (\frac{x}{3}))}{4} + C$

Bước 17

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{9}{2} \arcsin (\frac{1}{3} x) - \frac{9}{4} \sin (2 \arcsin (\frac{1}{3} x)) + C$