Giải tích Ví dụ

$\int_{0}^{2} x \sqrt{1 + 2 x^{2}} d x$

Bước 1

Giả sử $u = 1 + 2 x^{2}$ . Sau đó $d u = 4 x d x$ , nên $\frac{1}{4} d u = x d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Hãy đặt $u = 1 + 2 x^{2}$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Tính đạo hàm $1 + 2 x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [1 + 2 x^{2}]$

Bước 1.1.2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $1 + 2 x^{2}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}]$

Bước 1.1.2.2

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [2 x^{2}]$

Bước 1.1.3

Tính $\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.3.1

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 x^{2}$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$0 + 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Bước 1.1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$0 + 2 (2 x)$

Bước 1.1.3.3

Nhân $2$ với $2$ .

$0 + 4 x$

Bước 1.1.4

Cộng $0$ và $4 x$ .

$4 x$

Bước 1.2

Thay giới hạn dưới vào cho $x$ trong $u = 1 + 2 x^{2}$ .

$u_{lower} = 1 + 2 \cdot 0^{2}$

Bước 1.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1.1

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$u_{lower} = 1 + 2 \cdot 0$

Bước 1.3.1.2

Nhân $2$ với $0$ .

$u_{lower} = 1 + 0$

Bước 1.3.2

Cộng $1$ và $0$ .

$u_{lower} = 1$

Bước 1.4

Thay giới hạn trên vào cho $x$ trong $u = 1 + 2 x^{2}$ .

$u_{upper} = 1 + 2 \cdot 2^{2}$

Bước 1.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.1.1

Nhân $2$ với $2^{2}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.1.1.1

Nhân $2$ với $2^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.1.1.1.1

Nâng $2$ lên lũy thừa $1$ .

$u_{upper} = 1 + 2^{1} \cdot 2^{2}$

Bước 1.5.1.1.1.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$u_{upper} = 1 + 2^{1 + 2}$

Bước 1.5.1.1.2

Cộng $1$ và $2$ .

$u_{upper} = 1 + 2^{3}$

Bước 1.5.1.2

Nâng $2$ lên lũy thừa $3$ .

$u_{upper} = 1 + 8$

Bước 1.5.2

Cộng $1$ và $8$ .

$u_{upper} = 9$

Bước 1.6

Các giá trị tìm được cho $u_{lower}$ và $u_{upper}$ sẽ được sử dụng để tính tích phân xác định.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 9$

Bước 1.7

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ , $d u$ , và các giới hạn mới của phép tích phân.

$\int_{1}^{9} \sqrt{u} \frac{1}{4} d u$

Bước 2

Kết hợp $\sqrt{u}$ và $\frac{1}{4}$ .

$\int_{1}^{9} \frac{\sqrt{u}}{4} d u$

Bước 3

Vì $\frac{1}{4}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{4}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{4} \int_{1}^{9} \sqrt{u} d u$

Bước 4

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{u}$ ở dạng $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{4} \int_{1}^{9} u^{\frac{1}{2}} d u$

Bước 5

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u^{\frac{1}{2}}$ đối với $u$ là $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{4} \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{1}^{9}$

Bước 6

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Tính $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ tại $9$ và tại $1$ .

$\frac{1}{4} ((\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Bước 6.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1

Viết lại $9$ ở dạng $3^{2}$ .

$\frac{1}{4} (\frac{2}{3} \cdot {(3^{2})}^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Bước 6.2.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{4} (\frac{2}{3} \cdot 3^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Bước 6.2.3

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.3.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{4} (\frac{2}{3} \cdot 3^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Bước 6.2.3.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{4} (\frac{2}{3} \cdot 3^{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Bước 6.2.4

Nâng $3$ lên lũy thừa $3$ .

$\frac{1}{4} (\frac{2}{3} \cdot 27 - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Bước 6.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.1

Kết hợp $\frac{2}{3}$ và $27$ .

$\frac{1}{4} (\frac{2 \cdot 27}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Bước 6.3.2

Nhân $2$ với $27$ .

$\frac{1}{4} (\frac{54}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Bước 6.3.3

Triệt tiêu thừa số chung của $54$ và $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.3.1

Đưa $3$ ra ngoài $54$ .

$\frac{1}{4} (\frac{3 \cdot 18}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Bước 6.3.3.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.3.2.1

Đưa $3$ ra ngoài $3$ .

$\frac{1}{4} (\frac{3 \cdot 18}{3 (1)} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Bước 6.3.3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{4} (\frac{3 \cdot 18}{3 \cdot 1} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Bước 6.3.3.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{4} (\frac{18}{1} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Bước 6.3.3.2.4

Chia $18$ cho $1$ .

$\frac{1}{4} (18 - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Bước 6.4

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.4.1

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$\frac{1}{4} (18 - \frac{2}{3} \cdot 1)$

Bước 6.4.2

Nhân $- 1$ với $1$ .

$\frac{1}{4} (18 - \frac{2}{3})$

Bước 6.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.5.1

Để viết $18$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{4} (18 \cdot \frac{3}{3} - \frac{2}{3})$

Bước 6.5.2

Kết hợp $18$ và $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{4} (\frac{18 \cdot 3}{3} - \frac{2}{3})$

Bước 6.5.3

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{18 \cdot 3 - 2}{3}$

Bước 6.5.4

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.5.4.1

Nhân $18$ với $3$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{54 - 2}{3}$

Bước 6.5.4.2

Trừ $2$ khỏi $54$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{52}{3}$

Bước 6.6

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.6.1

Nhân $\frac{1}{4}$ với $\frac{52}{3}$ .

$\frac{52}{4 \cdot 3}$

Bước 6.6.2

Nhân $4$ với $3$ .

$\frac{52}{12}$

Bước 6.6.3

Triệt tiêu thừa số chung của $52$ và $12$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.6.3.1

Đưa $4$ ra ngoài $52$ .

$\frac{4 (13)}{12}$

Bước 6.6.3.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.6.3.2.1

Đưa $4$ ra ngoài $12$ .

$\frac{4 \cdot 13}{4 \cdot 3}$

Bước 6.6.3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{4 \cdot 13}{4 \cdot 3}$

Bước 6.6.3.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{13}{3}$

Bước 7

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$\frac{13}{3}$

Dạng thập phân:

$4.\overline{3}$

Dạng hỗn số:

$4 \frac{1}{3}$