Giải tích Ví dụ

$\int (5 x^{2} - 3) (2 x) d x$

Bước 1

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $5 x^{2} - 3$ .

$\int 2 (5 x^{2} - 3) x d x$

Bước 2

Giả sử $u = 2 (5 x^{2} - 3)$ . Sau đó $d u = 20 x d x$ , nên $\frac{1}{20} d u = x d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Hãy đặt $u = 2 (5 x^{2} - 3)$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Tính đạo hàm $2 (5 x^{2} - 3)$ .

$\frac{d}{d x} [2 (5 x^{2} - 3)]$

Bước 2.1.2

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 (5 x^{2} - 3)$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [5 x^{2} - 3]$ .

$2 \frac{d}{d x} [5 x^{2} - 3]$

Bước 2.1.3

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $5 x^{2} - 3$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$2 (\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3])$

Bước 2.1.4

Vì $5$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $5 x^{2}$ đối với $x$ là $5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$2 (5 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3])$

Bước 2.1.5

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$2 (5 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 3])$

Bước 2.1.6

Nhân $2$ với $5$ .

$2 (10 x + \frac{d}{d x} [- 3])$

Bước 2.1.7

Vì $- 3$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 3$ đối với $x$ là $0$ .

$2 (10 x + 0)$

Bước 2.1.8

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.8.1

Cộng $10 x$ và $0$ .

$2 (10 x)$

Bước 2.1.8.2

Nhân $10$ với $2$ .

$20 x$

Bước 2.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$\int u \frac{1}{20} d u$

Bước 3

Kết hợp $u$ và $\frac{1}{20}$ .

$\int \frac{u}{20} d u$

Bước 4

Vì $\frac{1}{20}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{20}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{20} \int u d u$

Bước 5

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u$ đối với $u$ là $\frac{1}{2} u^{2}$ .

$\frac{1}{20} (\frac{1}{2} u^{2} + C)$

Bước 6

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Viết lại $\frac{1}{20} (\frac{1}{2} u^{2} + C)$ ở dạng $\frac{1}{20} \cdot \frac{1}{2} u^{2} + C$ .

$\frac{1}{20} \cdot \frac{1}{2} u^{2} + C$

Bước 6.2

Viết lại $\frac{1}{20} \cdot \frac{1}{2} u^{2} + C$ ở dạng $\frac{1}{40} u^{2} + C$ .

$\frac{1}{40} u^{2} + C$

Bước 7

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $2 (5 x^{2} - 3)$ .

$\frac{1}{40} {(2 (5 x^{2} - 3))}^{2} + C$