Giải tích Ví dụ

$\int \frac{x^{3}}{\sqrt{1 - x^{2}}} d x$

Bước 1

Giả sử $u = 1 - x^{2}$ . Sau đó $d u = - 2 x d x$ , nên $- \frac{1}{2} d u = x d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Hãy đặt $u = 1 - x^{2}$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Tính đạo hàm $1 - x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [1 - x^{2}]$

Bước 1.1.2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $1 - x^{2}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Bước 1.1.2.2

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Bước 1.1.3

Tính $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.3.1

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- x^{2}$ đối với $x$ là $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$0 - \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Bước 1.1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$0 - (2 x)$

Bước 1.1.3.3

Nhân $2$ với $- 1$ .

$0 - 2 x$

Bước 1.1.4

Trừ $2 x$ khỏi $0$ .

$- 2 x$

Bước 1.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$\int \frac{{\sqrt{- u + 1}}^{2}}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{- 2} d u$

Bước 2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Viết lại ${\sqrt{- u + 1}}^{2}$ ở dạng $- u + 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{- u + 1}$ ở dạng ${(- u + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \frac{{({(- u + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{- 2} d u$

Bước 2.1.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int \frac{{(- u + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{- 2} d u$

Bước 2.1.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $2$ .

$\int \frac{{(- u + 1)}^{\frac{2}{2}}}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{- 2} d u$

Bước 2.1.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\int \frac{{(- u + 1)}^{\frac{2}{2}}}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{- 2} d u$

Bước 2.1.4.2

Viết lại biểu thức.

$\int \frac{{(- u + 1)}^{1}}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{- 2} d u$

Bước 2.1.5

Rút gọn.

$\int \frac{- u + 1}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{- 2} d u$

Bước 2.2

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\int \frac{- u + 1}{\sqrt{u}} (- \frac{1}{2}) d u$

Bước 2.3

Nhân $\frac{- u + 1}{\sqrt{u}}$ với $\frac{1}{2}$ .

$\int - \frac{- u + 1}{\sqrt{u} \cdot 2} d u$

Bước 2.4

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $\sqrt{u}$ .

$\int - \frac{- u + 1}{2 \sqrt{u}} d u$

Bước 3

Vì $- 1$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$- \int \frac{- u + 1}{2 \sqrt{u}} d u$

Bước 4

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$- (\frac{1}{2} \int \frac{- u + 1}{\sqrt{u}} d u)$

Bước 5

Áp dụng các quy tắc số mũ cơ bản.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{u}$ ở dạng $u^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{1}{2} \int \frac{- u + 1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

Bước 5.2

Di chuyển $u^{\frac{1}{2}}$ ra ngoài mẫu số bằng cách nâng nó lên lũy thừa $- 1$ .

$- \frac{1}{2} \int (- u + 1) {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

Bước 5.3

Nhân các số mũ trong ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{2} \int (- u + 1) u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

Bước 5.3.2

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $- 1$ .

$- \frac{1}{2} \int (- u + 1) u^{\frac{- 1}{2}} d u$

Bước 5.3.3

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{1}{2} \int (- u + 1) u^{- \frac{1}{2}} d u$

Bước 6

Khai triển $(- u + 1) u^{- \frac{1}{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$- \frac{1}{2} \int - u \cdot u^{- \frac{1}{2}} + 1 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Bước 6.2

Đưa dấu âm ra ngoài.

$- \frac{1}{2} \int - (u \cdot u^{- \frac{1}{2}}) + 1 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Bước 6.3

Nâng $u$ lên lũy thừa $1$ .

$- \frac{1}{2} \int - (u^{1} u^{- \frac{1}{2}}) + 1 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Bước 6.4

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$- \frac{1}{2} \int - u^{1 - \frac{1}{2}} + 1 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Bước 6.5

Viết $1$ ở dạng một phân số với một mẫu số chung.

$- \frac{1}{2} \int - u^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}} + 1 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Bước 6.6

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$- \frac{1}{2} \int - u^{\frac{2 - 1}{2}} + 1 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Bước 6.7

Trừ $1$ khỏi $2$ .

$- \frac{1}{2} \int - u^{\frac{1}{2}} + 1 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Bước 6.8

Nhân $u^{- \frac{1}{2}}$ với $1$ .

$- \frac{1}{2} \int - u^{\frac{1}{2}} + u^{- \frac{1}{2}} d u$

Bước 6.9

Sắp xếp lại $- u^{\frac{1}{2}}$ và $u^{- \frac{1}{2}}$ .

$- \frac{1}{2} \int u^{- \frac{1}{2}} - u^{\frac{1}{2}} d u$

Bước 7

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$- \frac{1}{2} (\int u^{- \frac{1}{2}} d u + \int - u^{\frac{1}{2}} d u)$

Bước 8

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u^{- \frac{1}{2}}$ đối với $u$ là $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{1}{2} (2 u^{\frac{1}{2}} + C + \int - u^{\frac{1}{2}} d u)$

Bước 9

Vì $- 1$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$- \frac{1}{2} (2 u^{\frac{1}{2}} + C - \int u^{\frac{1}{2}} d u)$

Bước 10

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u^{\frac{1}{2}}$ đối với $u$ là $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$- \frac{1}{2} (2 u^{\frac{1}{2}} + C - (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C))$

Bước 11

Rút gọn.

$- \frac{1}{2} (2 u^{\frac{1}{2}} - \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}) + C$

Bước 12

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $1 - x^{2}$ .

$- \frac{1}{2} (2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - \frac{2}{3} {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}) + C$

Bước 13

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1.1

Kết hợp ${(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}$ và $\frac{2}{3}$ .

$- \frac{1}{2} (2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} \cdot 2}{3}) + C$

Bước 13.1.2

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của ${(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}$ .

$- \frac{1}{2} (2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - \frac{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3}) + C$

Bước 13.2

Để viết $2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{1}{2} (2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{3}{3} - \frac{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3}) + C$

Bước 13.3

Kết hợp $2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ và $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{1}{2} (\frac{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 3}{3} - \frac{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3}) + C$

Bước 13.4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 3 - 2 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3} + C$

Bước 13.5

Nhân $3$ với $2$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{6 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - 2 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3} + C$

Bước 13.6

Nhân $- \frac{1}{2} \cdot \frac{6 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - 2 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.6.1

Nhân $\frac{6 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - 2 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3}$ với $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{6 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - 2 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3 \cdot 2} + C$

Bước 13.6.2

Nhân $3$ với $2$ .

$- \frac{6 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - 2 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}{6} + C$

Bước 14

Sắp xếp lại các số hạng.

$- \frac{1}{6} (6 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - 2 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}) + C$