Giải tích Ví dụ

$\int \frac{x^{2}}{x^{3} + 4} d x$

Bước 1

Giả sử $u = x^{3} + 4$ . Sau đó $d u = 3 x^{2} d x$ , nên $\frac{1}{3} d u = x^{2} d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Hãy đặt $u = x^{3} + 4$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Tính đạo hàm $x^{3} + 4$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3} + 4]$

Bước 1.1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x^{3} + 4$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [4]$

Bước 1.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [4]$

Bước 1.1.4

Vì $4$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $4$ đối với $x$ là $0$ .

$3 x^{2} + 0$

Bước 1.1.5

Cộng $3 x^{2}$ và $0$ .

$3 x^{2}$

Bước 1.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$\int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{3} d u$

Bước 2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Nhân $\frac{1}{u}$ với $\frac{1}{3}$ .

$\int \frac{1}{u \cdot 3} d u$

Bước 2.2

Di chuyển $3$ sang phía bên trái của $u$ .

$\int \frac{1}{3 u} d u$

Bước 3

Vì $\frac{1}{3}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{3}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{3} \int \frac{1}{u} d u$

Bước 4

Tích phân của $\frac{1}{u}$ đối với $u$ là $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{3} (\ln (| u |) + C)$

Bước 5

Rút gọn.

$\frac{1}{3} \ln (| u |) + C$

Bước 6

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $x^{3} + 4$ .

$\frac{1}{3} \ln (| x^{3} + 4 |) + C$