Giải tích Ví dụ

$\int {(1 + \frac{1}{t})}^{3} (\frac{1}{t^{2}}) d t$

Bước 1

Kết hợp ${(1 + \frac{1}{t})}^{3}$ và $\frac{1}{t^{2}}$ .

$\int \frac{{(1 + \frac{1}{t})}^{3}}{t^{2}} d t$

Bước 2

Giả sử $u = 1 + \frac{1}{t}$ . Sau đó $d u = - \frac{1}{t^{2}} d t$ , nên $- d u = \frac{1}{t^{2}} d t$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Hãy đặt $u = 1 + \frac{1}{t}$ . Tìm $\frac{d u}{d t}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Tính đạo hàm $1 + \frac{1}{t}$ .

$\frac{d}{d t} [1 + \frac{1}{t}]$

Bước 2.1.2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $1 + \frac{1}{t}$ đối với $t$ là $\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [\frac{1}{t}]$ .

$\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [\frac{1}{t}]$

Bước 2.1.2.2

Vì $1$ là hằng số đối với $t$ , đạo hàm của $1$ đối với $t$ là $0$ .

$0 + \frac{d}{d t} [\frac{1}{t}]$

Bước 2.1.3

Tính $\frac{d}{d t} [\frac{1}{t}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.3.1

Viết lại $\frac{1}{t}$ ở dạng $t^{- 1}$ .

$0 + \frac{d}{d t} [t^{- 1}]$

Bước 2.1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ là $n t^{n - 1}$ trong đó $n = - 1$ .

$0 - t^{- 2}$

Bước 2.1.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.4.1

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$0 - \frac{1}{t^{2}}$

Bước 2.1.4.2

Trừ $\frac{1}{t^{2}}$ khỏi $0$ .

$- \frac{1}{t^{2}}$

Bước 2.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$\int - u^{3} d u$

Bước 3

Vì $- 1$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$- \int u^{3} d u$

Bước 4

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u^{3}$ đối với $u$ là $\frac{1}{4} u^{4}$ .

$- (\frac{1}{4} u^{4} + C)$

Bước 5

Viết lại $- (\frac{1}{4} u^{4} + C)$ ở dạng $- \frac{1}{4} u^{4} + C$ .

$- \frac{1}{4} u^{4} + C$

Bước 6

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $1 + \frac{1}{t}$ .

$- \frac{1}{4} {(1 + \frac{1}{t})}^{4} + C$