Giải tích Ví dụ

$\int_{1}^{2} x \sqrt{x - 1} d x$

Bước 1

Giả sử $u = x - 1$ . Sau đó $d u = d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Hãy đặt $u = x - 1$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Tính đạo hàm $x - 1$ .

$\frac{d}{d x} [x - 1]$

Bước 1.1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x - 1$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Bước 1.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Bước 1.1.4

Vì $- 1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 1$ đối với $x$ là $0$ .

$1 + 0$

Bước 1.1.5

Cộng $1$ và $0$ .

$1$

Bước 1.2

Thay giới hạn dưới vào cho $x$ trong $u = x - 1$ .

$u_{lower} = 1 - 1$

Bước 1.3

Trừ $1$ khỏi $1$ .

$u_{lower} = 0$

Bước 1.4

Thay giới hạn trên vào cho $x$ trong $u = x - 1$ .

$u_{upper} = 2 - 1$

Bước 1.5

Trừ $1$ khỏi $2$ .

$u_{upper} = 1$

Bước 1.6

Các giá trị tìm được cho $u_{lower}$ và $u_{upper}$ sẽ được sử dụng để tính tích phân xác định.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 1$

Bước 1.7

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ , $d u$ , và các giới hạn mới của phép tích phân.

$\int_{0}^{1} (u + 1) \sqrt{u} d u$

Bước 2

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{u}$ ở dạng $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\int_{0}^{1} (u + 1) u^{\frac{1}{2}} d u$

Bước 3

Khai triển $(u + 1) u^{\frac{1}{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\int_{0}^{1} u \cdot u^{\frac{1}{2}} + 1 u^{\frac{1}{2}} d u$

Bước 3.2

Nâng $u$ lên lũy thừa $1$ .

$\int_{0}^{1} u^{1} u^{\frac{1}{2}} + 1 u^{\frac{1}{2}} d u$

Bước 3.3

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\int_{0}^{1} u^{1 + \frac{1}{2}} + 1 u^{\frac{1}{2}} d u$

Bước 3.4

Viết $1$ ở dạng một phân số với một mẫu số chung.

$\int_{0}^{1} u^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}} + 1 u^{\frac{1}{2}} d u$

Bước 3.5

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\int_{0}^{1} u^{\frac{2 + 1}{2}} + 1 u^{\frac{1}{2}} d u$

Bước 3.6

Cộng $2$ và $1$ .

$\int_{0}^{1} u^{\frac{3}{2}} + 1 u^{\frac{1}{2}} d u$

Bước 3.7

Nhân $u^{\frac{1}{2}}$ với $1$ .

$\int_{0}^{1} u^{\frac{3}{2}} + u^{\frac{1}{2}} d u$

Bước 4

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\int_{0}^{1} u^{\frac{3}{2}} d u + \int_{0}^{1} u^{\frac{1}{2}} d u$

Bước 5

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u^{\frac{3}{2}}$ đối với $u$ là $\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}$ .

$\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} u^{\frac{1}{2}} d u$

Bước 6

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u^{\frac{1}{2}}$ đối với $u$ là $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}]_{0}^{1} + \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{0}^{1}$

Bước 7

Kết hợp $\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}]_{0}^{1}$ và $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{0}^{1}$ .

$\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{0}^{1}$

Bước 8

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Tính $\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ tại $1$ và tại $0$ .

$(\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}} + \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}) - (\frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}} + \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Bước 8.2

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$\frac{2}{5} \cdot 1 + \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - (\frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}} + \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Bước 8.3

Nhân $\frac{2}{5}$ với $1$ .

$\frac{2}{5} + \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - (\frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}} + \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Bước 8.4

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$\frac{2}{5} + \frac{2}{3} \cdot 1 - (\frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}} + \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Bước 8.5

Nhân $\frac{2}{3}$ với $1$ .

$\frac{2}{5} + \frac{2}{3} - (\frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}} + \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Bước 9

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Để viết $\frac{2}{5}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2}{5} \cdot \frac{3}{3} + \frac{2}{3} - (\frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}} + \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Bước 9.2

Để viết $\frac{2}{3}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{5}{5}$ .

$\frac{2}{5} \cdot \frac{3}{3} + \frac{2}{3} \cdot \frac{5}{5} - (\frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}} + \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Bước 9.3

Viết mỗi biểu thức với mẫu số chung là $15$ , bằng cách nhân từng biểu thức với một thừa số thích hợp của $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.3.1

Nhân $\frac{2}{5}$ với $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2 \cdot 3}{5 \cdot 3} + \frac{2}{3} \cdot \frac{5}{5} - (\frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}} + \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Bước 9.3.2

Nhân $5$ với $3$ .

$\frac{2 \cdot 3}{15} + \frac{2}{3} \cdot \frac{5}{5} - (\frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}} + \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Bước 9.3.3

Nhân $\frac{2}{3}$ với $\frac{5}{5}$ .

$\frac{2 \cdot 3}{15} + \frac{2 \cdot 5}{3 \cdot 5} - (\frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}} + \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Bước 9.3.4

Nhân $3$ với $5$ .

$\frac{2 \cdot 3}{15} + \frac{2 \cdot 5}{15} - (\frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}} + \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Bước 9.4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{2 \cdot 3 + 2 \cdot 5}{15} - (\frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}} + \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Bước 9.5

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.5.1

Nhân $2$ với $3$ .

$\frac{6 + 2 \cdot 5}{15} - (\frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}} + \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Bước 9.5.2

Nhân $2$ với $5$ .

$\frac{6 + 10}{15} - (\frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}} + \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Bước 9.5.3

Cộng $6$ và $10$ .

$\frac{16}{15} - (\frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}} + \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Bước 10

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Viết lại $0$ ở dạng $0^{2}$ .

$\frac{16}{15} - (\frac{2}{5} \cdot {(0^{2})}^{\frac{5}{2}} + \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Bước 10.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{16}{15} - (\frac{2}{5} \cdot 0^{2 (\frac{5}{2})} + \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Bước 10.3

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.3.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{16}{15} - (\frac{2}{5} \cdot 0^{2 (\frac{5}{2})} + \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Bước 10.3.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{16}{15} - (\frac{2}{5} \cdot 0^{5} + \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Bước 10.4

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$\frac{16}{15} - (\frac{2}{5} \cdot 0 + \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Bước 11

Nhân $\frac{2}{5}$ với $0$ .

$\frac{16}{15} - (0 + \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Bước 12

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1

Viết lại $0$ ở dạng $0^{2}$ .

$\frac{16}{15} - (0 + \frac{2}{3} \cdot {(0^{2})}^{\frac{3}{2}})$

Bước 12.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{16}{15} - (0 + \frac{2}{3} \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})})$

Bước 12.3

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.3.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{16}{15} - (0 + \frac{2}{3} \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})})$

Bước 12.3.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{16}{15} - (0 + \frac{2}{3} \cdot 0^{3})$

Bước 12.4

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$\frac{16}{15} - (0 + \frac{2}{3} \cdot 0)$

Bước 13

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1

Nhân $\frac{2}{3}$ với $0$ .

$\frac{16}{15} - (0 + 0)$

Bước 13.2

Cộng $0$ và $0$ .

$\frac{16}{15} - 0$

Bước 13.3

Nhân $- 1$ với $0$ .

$\frac{16}{15} + 0$

Bước 13.4

Cộng $\frac{16}{15}$ và $0$ .

$\frac{16}{15}$

Bước 14

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$\frac{16}{15}$

Dạng thập phân:

$1.0\overline{6}$

Dạng hỗn số:

$1 \frac{1}{15}$