Giải tích Ví dụ

$\int \frac{6 x}{{(5 + 3 x^{2})}^{4}} d x$

Bước 1

Giả sử $u = 5 + 3 x^{2}$ . Sau đó $d u = 6 x d x$ , nên $\frac{1}{6 x} d u = d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Hãy đặt $u = 5 + 3 x^{2}$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Tính đạo hàm $5 + 3 x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [5 + 3 x^{2}]$

Bước 1.1.2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $5 + 3 x^{2}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}]$

Bước 1.1.2.2

Vì $5$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $5$ đối với $x$ là $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [3 x^{2}]$

Bước 1.1.3

Tính $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.3.1

Vì $3$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $3 x^{2}$ đối với $x$ là $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$0 + 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Bước 1.1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$0 + 3 (2 x)$

Bước 1.1.3.3

Nhân $2$ với $3$ .

$0 + 6 x$

Bước 1.1.4

Cộng $0$ và $6 x$ .

$6 x$

Bước 1.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$\int \frac{1}{u^{4}} d u$

Bước 2

Áp dụng các quy tắc số mũ cơ bản.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Di chuyển $u^{4}$ ra ngoài mẫu số bằng cách nâng nó lên lũy thừa $- 1$ .

$\int {(u^{4})}^{- 1} d u$

Bước 2.2

Nhân các số mũ trong ${(u^{4})}^{- 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int u^{4 \cdot - 1} d u$

Bước 2.2.2

Nhân $4$ với $- 1$ .

$\int u^{- 4} d u$

Bước 3

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u^{- 4}$ đối với $u$ là $- \frac{1}{3} u^{- 3}$ .

$- \frac{1}{3} u^{- 3} + C$

Bước 4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Viết lại $- \frac{1}{3} u^{- 3} + C$ ở dạng $- \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{u^{3}} + C$ .

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{u^{3}} + C$

Bước 4.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Nhân $\frac{1}{u^{3}}$ với $\frac{1}{3}$ .

$- \frac{1}{u^{3} \cdot 3} + C$

Bước 4.2.2

Di chuyển $3$ sang phía bên trái của $u^{3}$ .

$- \frac{1}{3 u^{3}} + C$

Bước 5

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $5 + 3 x^{2}$ .

$- \frac{1}{3 {(5 + 3 x^{2})}^{3}} + C$