Giải tích Ví dụ

$\int x e^{2 x} d x$

Bước 1

Giả sử $u = 2 x$ . Sau đó $d u = 2 d x$ , nên $\frac{1}{2} d u = d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Hãy đặt $u = 2 x$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Tính đạo hàm $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Bước 1.1.2

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 x$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Bước 1.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Bước 1.1.4

Nhân $2$ với $1$ .

$2$

Bước 1.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$\int \frac{u}{2} e^{u} \frac{1}{2} d u$

Bước 2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Kết hợp $\frac{u}{2}$ và $e^{u}$ .

$\int \frac{u e^{u}}{2} \cdot \frac{1}{2} d u$

Bước 2.2

Nhân $\frac{u e^{u}}{2}$ với $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{u e^{u}}{2 \cdot 2} d u$

Bước 2.3

Nhân $2$ với $2$ .

$\int \frac{u e^{u}}{4} d u$

Bước 3

Vì $\frac{1}{4}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{4}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{4} \int u e^{u} d u$

Bước 4

Lấy tích phân từng phần bằng công thức $\int w d v = w v - \int v d w$ , trong đó $w = u$ và $dv = e^{u}$ .

$\frac{1}{4} (u e^{u} - \int e^{u} d u)$

Bước 5

Tích phân của $e^{u}$ đối với $u$ là $e^{u}$ .

$\frac{1}{4} (u e^{u} - (e^{u} + C))$

Bước 6

Rút gọn.

$\frac{1}{4} (u e^{u} - e^{u}) + C$

Bước 7

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $2 x$ .

$\frac{1}{4} (2 x e^{2 x} - e^{2 x}) + C$

Bước 8

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{1}{4} (2 x e^{2 x}) + \frac{1}{4} (- e^{2 x}) + C$

Bước 8.2

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $4$ .

$\frac{1}{2 (2)} (2 x e^{2 x}) + \frac{1}{4} (- e^{2 x}) + C$

Bước 8.2.2

Đưa $2$ ra ngoài $2 x e^{2 x}$ .

$\frac{1}{2 (2)} (2 (x e^{2 x})) + \frac{1}{4} (- e^{2 x}) + C$

Bước 8.2.3

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{2 \cdot 2} (2 (x e^{2 x})) + \frac{1}{4} (- e^{2 x}) + C$

Bước 8.2.4

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{2} (x e^{2 x}) + \frac{1}{4} (- e^{2 x}) + C$

Bước 8.3

Kết hợp $x$ và $\frac{1}{2}$ .

$\frac{x}{2} e^{2 x} + \frac{1}{4} (- e^{2 x}) + C$

Bước 8.4

Kết hợp $\frac{x}{2}$ và $e^{2 x}$ .

$\frac{x e^{2 x}}{2} + \frac{1}{4} (- e^{2 x}) + C$

Bước 8.5

Kết hợp $\frac{1}{4}$ và $e^{2 x}$ .

$\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{e^{2 x}}{4} + C$

Bước 9

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{1}{2} x e^{2 x} - \frac{1}{4} e^{2 x} + C$