Giải tích Ví dụ

$\int x \sqrt{2 x - 1} d x$

Bước 1

Giả sử $u = 2 x - 1$ . Sau đó $d u = 2 d x$ , nên $\frac{1}{2} d u = d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Hãy đặt $u = 2 x - 1$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Tính đạo hàm $2 x - 1$ .

$\frac{d}{d x} [2 x - 1]$

Bước 1.1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $2 x - 1$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Bước 1.1.3

Tính $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.3.1

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 x$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Bước 1.1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Bước 1.1.3.3

Nhân $2$ với $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Bước 1.1.4

Tìm đạo hàm bằng quy tắc hằng số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.4.1

Vì $- 1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 1$ đối với $x$ là $0$ .

$2 + 0$

Bước 1.1.4.2

Cộng $2$ và $0$ .

$2$

Bước 1.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$\int (\frac{u}{2} + \frac{1}{2}) \sqrt{u} \frac{1}{2} d u$

Bước 2

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $\sqrt{u}$ .

$\int (\frac{u}{2} + \frac{1}{2}) \frac{\sqrt{u}}{2} d u$

Bước 2.2

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{u}$ ở dạng $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\int (\frac{u}{2} + \frac{1}{2}) \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} d u$

Bước 3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\int \frac{u}{2} \cdot \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} d u$

Bước 3.2

Nhân $\frac{u}{2}$ với $\frac{u^{\frac{1}{2}}}{2}$ .

$\int \frac{u \cdot u^{\frac{1}{2}}}{2 \cdot 2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} d u$

Bước 3.3

Nâng $u$ lên lũy thừa $1$ .

$\int \frac{u^{1} u^{\frac{1}{2}}}{2 \cdot 2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} d u$

Bước 3.4

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\int \frac{u^{1 + \frac{1}{2}}}{2 \cdot 2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} d u$

Bước 3.5

Viết $1$ ở dạng một phân số với một mẫu số chung.

$\int \frac{u^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}}{2 \cdot 2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} d u$

Bước 3.6

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\int \frac{u^{\frac{2 + 1}{2}}}{2 \cdot 2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} d u$

Bước 3.7

Cộng $2$ và $1$ .

$\int \frac{u^{\frac{3}{2}}}{2 \cdot 2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} d u$

Bước 3.8

Nhân $2$ với $2$ .

$\int \frac{u^{\frac{3}{2}}}{4} + \frac{1}{2} \cdot \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} d u$

Bước 3.9

Nhân $\frac{1}{2}$ với $\frac{u^{\frac{1}{2}}}{2}$ .

$\int \frac{u^{\frac{3}{2}}}{4} + \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2 \cdot 2} d u$

Bước 3.10

Nhân $2$ với $2$ .

$\int \frac{u^{\frac{3}{2}}}{4} + \frac{u^{\frac{1}{2}}}{4} d u$

Bước 4

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\int \frac{u^{\frac{3}{2}}}{4} d u + \int \frac{u^{\frac{1}{2}}}{4} d u$

Bước 5

Vì $\frac{1}{4}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{4}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{4} \int u^{\frac{3}{2}} d u + \int \frac{u^{\frac{1}{2}}}{4} d u$

Bước 6

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u^{\frac{3}{2}}$ đối với $u$ là $\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}$ .

$\frac{1}{4} (\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C) + \int \frac{u^{\frac{1}{2}}}{4} d u$

Bước 7

Vì $\frac{1}{4}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{4}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{4} (\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C) + \frac{1}{4} \int u^{\frac{1}{2}} d u$

Bước 8

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u^{\frac{1}{2}}$ đối với $u$ là $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{4} (\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C) + \frac{1}{4} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$

Bước 9

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Rút gọn.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + \frac{1}{4} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

Bước 9.2

Viết lại $\frac{1}{4} \cdot \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + \frac{1}{4} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$ ở dạng $\frac{1}{10} u^{\frac{5}{2}} + \frac{1}{4} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$ .

$\frac{1}{10} u^{\frac{5}{2}} + \frac{1}{4} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

Bước 9.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.3.1

Nhân $\frac{1}{4}$ với $\frac{2}{3}$ .

$\frac{1}{10} u^{\frac{5}{2}} + \frac{2}{4 \cdot 3} u^{\frac{3}{2}} + C$

Bước 9.3.2

Nhân $4$ với $3$ .

$\frac{1}{10} u^{\frac{5}{2}} + \frac{2}{12} u^{\frac{3}{2}} + C$

Bước 9.3.3

Triệt tiêu thừa số chung của $2$ và $12$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.3.3.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$\frac{1}{10} u^{\frac{5}{2}} + \frac{2 (1)}{12} u^{\frac{3}{2}} + C$

Bước 9.3.3.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.3.3.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $12$ .

$\frac{1}{10} u^{\frac{5}{2}} + \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 6} u^{\frac{3}{2}} + C$

Bước 9.3.3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{10} u^{\frac{5}{2}} + \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 6} u^{\frac{3}{2}} + C$

Bước 9.3.3.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{10} u^{\frac{5}{2}} + \frac{1}{6} u^{\frac{3}{2}} + C$

Bước 10

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $2 x - 1$ .

$\frac{1}{10} {(2 x - 1)}^{\frac{5}{2}} + \frac{1}{6} {(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}} + C$