Giải tích Ví dụ

$\int_{0}^{1} \cos (\frac{π t}{2}) d t$

Bước 1

Giả sử $u = \frac{π t}{2}$ . Sau đó $d u = \frac{π}{2} d t$ , nên $\frac{2}{π} d u = d t$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Hãy đặt $u = \frac{π t}{2}$ . Tìm $\frac{d u}{d t}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Tính đạo hàm $\frac{π t}{2}$ .

$\frac{d}{d t} [\frac{π t}{2}]$

Bước 1.1.2

Vì $\frac{π}{2}$ không đổi đối với $t$ , nên đạo hàm của $\frac{π t}{2}$ đối với $t$ là $\frac{π}{2} \frac{d}{d t} [t]$ .

$\frac{π}{2} \frac{d}{d t} [t]$

Bước 1.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ là $n t^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{π}{2} \cdot 1$

Bước 1.1.4

Nhân $\frac{π}{2}$ với $1$ .

$\frac{π}{2}$

Bước 1.2

Thay giới hạn dưới vào cho $t$ trong $u = \frac{π t}{2}$ .

$u_{lower} = \frac{π \cdot 0}{2}$

Bước 1.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Triệt tiêu thừa số chung của $0$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1.1

Đưa $2$ ra ngoài $π \cdot 0$ .

$u_{lower} = \frac{2 (π \cdot 0)}{2}$

Bước 1.3.1.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$u_{lower} = \frac{2 (π \cdot 0)}{2 (1)}$

Bước 1.3.1.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$u_{lower} = \frac{2 (π \cdot 0)}{2 \cdot 1}$

Bước 1.3.1.2.3

Viết lại biểu thức.

$u_{lower} = \frac{π \cdot 0}{1}$

Bước 1.3.1.2.4

Chia $π \cdot 0$ cho $1$ .

$u_{lower} = π \cdot 0$

Bước 1.3.2

Nhân $π$ với $0$ .

$u_{lower} = 0$

Bước 1.4

Thay giới hạn trên vào cho $t$ trong $u = \frac{π t}{2}$ .

$u_{upper} = \frac{π \cdot 1}{2}$

Bước 1.5

Nhân $π$ với $1$ .

$u_{upper} = \frac{π}{2}$

Bước 1.6

Các giá trị tìm được cho $u_{lower}$ và $u_{upper}$ sẽ được sử dụng để tính tích phân xác định.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = \frac{π}{2}$

Bước 1.7

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ , $d u$ , và các giới hạn mới của phép tích phân.

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos (u) \frac{1}{\frac{π}{2}} d u$

Bước 2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Nhân với nghịch đảo của phân số để chia cho $\frac{π}{2}$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos (u) (1 \frac{2}{π}) d u$

Bước 2.2

Nhân $\frac{2}{π}$ với $1$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos (u) \frac{2}{π} d u$

Bước 2.3

Kết hợp $\cos (u)$ và $\frac{2}{π}$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{\cos (u) \cdot 2}{π} d u$

Bước 2.4

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $\cos (u)$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{2 \cos (u)}{π} d u$

Bước 3

Vì $\frac{2}{π}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{2}{π}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{2}{π} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos (u) d u$

Bước 4

Tích phân của $\cos (u)$ đối với $u$ là $\sin (u)$ .

$\frac{2}{π} \sin (u)]_{0}^{\frac{π}{2}}$

Bước 5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Tính $\sin (u)$ tại $\frac{π}{2}$ và tại $0$ .

$\frac{2}{π} ((\sin (\frac{π}{2})) - \sin (0))$

Bước 5.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Giá trị chính xác của $\sin (\frac{π}{2})$ là $1$ .

$\frac{2}{π} (1 - \sin (0))$

Bước 5.2.2

Giá trị chính xác của $\sin (0)$ là $0$ .

$\frac{2}{π} (1 - 0)$

Bước 5.2.3

Nhân $- 1$ với $0$ .

$\frac{2}{π} (1 + 0)$

Bước 5.2.4

Cộng $1$ và $0$ .

$\frac{2}{π} \cdot 1$

Bước 5.2.5

Nhân $\frac{2}{π}$ với $1$ .

$\frac{2}{π}$

Bước 6

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$\frac{2}{π}$

Dạng thập phân:

$0.63661977 \dots$