Giải tích Ví dụ

$\int x^{3} \sqrt{x^{2} + 1} d x$

Bước 1

Giả sử $u = x^{2} + 1$ . Sau đó $d u = 2 x d x$ , nên $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Hãy đặt $u = x^{2} + 1$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Tính đạo hàm $x^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Bước 1.1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x^{2} + 1$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Bước 1.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [1]$

Bước 1.1.4

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$2 x + 0$

Bước 1.1.5

Cộng $2 x$ và $0$ .

$2 x$

Bước 1.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$\int {\sqrt{u - 1}}^{2} \sqrt{u} \frac{1}{2} d u$

Bước 2

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Viết lại ${\sqrt{u - 1}}^{2}$ ở dạng $u - 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{u - 1}$ ở dạng ${(u - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\int {({(u - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} \sqrt{u} \frac{1}{2} d u$

Bước 2.1.1.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int {(u - 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} \sqrt{u} \frac{1}{2} d u$

Bước 2.1.1.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $2$ .

$\int {(u - 1)}^{\frac{2}{2}} \sqrt{u} \frac{1}{2} d u$

Bước 2.1.1.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\int {(u - 1)}^{\frac{2}{2}} \sqrt{u} \frac{1}{2} d u$

Bước 2.1.1.4.2

Viết lại biểu thức.

$\int {(u - 1)}^{1} \sqrt{u} \frac{1}{2} d u$

Bước 2.1.1.5

Rút gọn.

$\int (u - 1) \sqrt{u} \frac{1}{2} d u$

Bước 2.1.2

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $\sqrt{u}$ .

$\int (u - 1) \frac{\sqrt{u}}{2} d u$

Bước 2.2

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{u}$ ở dạng $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\int (u - 1) \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} d u$

Bước 3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\int u \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} - 1 \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} d u$

Bước 3.2

Kết hợp $u$ và $\frac{u^{\frac{1}{2}}}{2}$ .

$\int \frac{u \cdot u^{\frac{1}{2}}}{2} - 1 \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} d u$

Bước 3.3

Nâng $u$ lên lũy thừa $1$ .

$\int \frac{u^{1} u^{\frac{1}{2}}}{2} - 1 \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} d u$

Bước 3.4

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\int \frac{u^{1 + \frac{1}{2}}}{2} - 1 \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} d u$

Bước 3.5

Viết $1$ ở dạng một phân số với một mẫu số chung.

$\int \frac{u^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}}{2} - 1 \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} d u$

Bước 3.6

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\int \frac{u^{\frac{2 + 1}{2}}}{2} - 1 \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} d u$

Bước 3.7

Cộng $2$ và $1$ .

$\int \frac{u^{\frac{3}{2}}}{2} - 1 \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} d u$

Bước 4

Viết lại $- 1 \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2}$ ở dạng $- \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2}$ .

$\int \frac{u^{\frac{3}{2}}}{2} - \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} d u$

Bước 5

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\int \frac{u^{\frac{3}{2}}}{2} d u + \int - \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} d u$

Bước 6

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{2} \int u^{\frac{3}{2}} d u + \int - \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} d u$

Bước 7

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u^{\frac{3}{2}}$ đối với $u$ là $\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C) + \int - \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} d u$

Bước 8

Vì $- 1$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{2} (\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C) - \int \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} d u$

Bước 9

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{2} (\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C) - (\frac{1}{2} \int u^{\frac{1}{2}} d u)$

Bước 10

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u^{\frac{1}{2}}$ đối với $u$ là $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C) - \frac{1}{2} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$

Bước 11

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1

Rút gọn.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} - \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

Bước 11.2

Viết lại $\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} - \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$ ở dạng $\frac{1}{5} u^{\frac{5}{2}} - \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$ .

$\frac{1}{5} u^{\frac{5}{2}} - \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

Bước 11.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.3.1

Nhân $\frac{2}{3}$ với $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{5} u^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{3 \cdot 2} u^{\frac{3}{2}} + C$

Bước 11.3.2

Nhân $3$ với $2$ .

$\frac{1}{5} u^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{6} u^{\frac{3}{2}} + C$

Bước 11.3.3

Triệt tiêu thừa số chung của $2$ và $6$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.3.3.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$\frac{1}{5} u^{\frac{5}{2}} - \frac{2 (1)}{6} u^{\frac{3}{2}} + C$

Bước 11.3.3.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.3.3.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $6$ .

$\frac{1}{5} u^{\frac{5}{2}} - \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} u^{\frac{3}{2}} + C$

Bước 11.3.3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{5} u^{\frac{5}{2}} - \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} u^{\frac{3}{2}} + C$

Bước 11.3.3.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{5} u^{\frac{5}{2}} - \frac{1}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

Bước 12

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $x^{2} + 1$ .

$\frac{1}{5} {(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}} - \frac{1}{3} {(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} + C$