Giải tích Ví dụ

$x^{2} = 4 y^{3} + 5 y^{2}$

Bước 1

Tính đạo hàm hai vế của phương trình.

$\frac{d}{d x} (x^{2}) = \frac{d}{d x} (4 y^{3} + 5 y^{2})$

Bước 2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$2 x$

Bước 3

Tính đạo hàm vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $4 y^{3} + 5 y^{2}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [4 y^{3}] + \frac{d}{d x} [5 y^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [4 y^{3}] + \frac{d}{d x} [5 y^{2}]$

Bước 3.2

Tính $\frac{d}{d x} [4 y^{3}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Vì $4$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $4 y^{3}$ đối với $x$ là $4 \frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [5 y^{2}]$

Bước 3.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{3}$ và $g (x) = y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{1}$ ở dạng $y$ .

$4 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{3}] \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [5 y^{2}]$

Bước 3.2.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ là $n {u_{1}}^{n - 1}$ trong đó $n = 3$ .

$4 (3 {u_{1}}^{2} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [5 y^{2}]$

Bước 3.2.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $y$ .

$4 (3 y^{2} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [5 y^{2}]$

Bước 3.2.3

Viết lại $\frac{d}{d x} [y]$ ở dạng $y'$ .

$4 (3 y^{2} y') + \frac{d}{d x} [5 y^{2}]$

Bước 3.2.4

Nhân $3$ với $4$ .

$12 y^{2} y' + \frac{d}{d x} [5 y^{2}]$

Bước 3.3

Tính $\frac{d}{d x} [5 y^{2}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Vì $5$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $5 y^{2}$ đối với $x$ là $5 \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$12 y^{2} y' + 5 \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Bước 3.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{2}$ và $g (x) = y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{2}$ ở dạng $y$ .

$12 y^{2} y' + 5 (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [y])$

Bước 3.3.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ là $n {u_{2}}^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$12 y^{2} y' + 5 (2 u_{2} \frac{d}{d x} [y])$

Bước 3.3.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $y$ .

$12 y^{2} y' + 5 (2 y \frac{d}{d x} [y])$

Bước 3.3.3

Viết lại $\frac{d}{d x} [y]$ ở dạng $y'$ .

$12 y^{2} y' + 5 (2 y y')$

Bước 3.3.4

Nhân $2$ với $5$ .

$12 y^{2} y' + 10 y y'$

Bước 4

Thiết lập lại phương trình bằng cách đặt vế trái bằng vế phải.

$2 x = 12 y^{2} y' + 10 y y'$

Bước 5

Giải tìm $y'$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Viết lại phương trình ở dạng $12 y^{2} y' + 10 y y' = 2 x$ .

$12 y^{2} y' + 10 y y' = 2 x$

Bước 5.2

Đưa $2 y y'$ ra ngoài $12 y^{2} y' + 10 y y'$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Đưa $2 y y'$ ra ngoài $12 y^{2} y'$ .

$2 y y' (6 y) + 10 y y' = 2 x$

Bước 5.2.2

Đưa $2 y y'$ ra ngoài $10 y y'$ .

$2 y y' (6 y) + 2 y y' \cdot 5 = 2 x$

Bước 5.2.3

Đưa $2 y y'$ ra ngoài $2 y y' (6 y) + 2 y y' \cdot 5$ .

$2 y y' (6 y + 5) = 2 x$

Bước 5.3

Chia mỗi số hạng trong $2 y y' (6 y + 5) = 2 x$ cho $2 y (6 y + 5)$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Chia mỗi số hạng trong $2 y y' (6 y + 5) = 2 x$ cho $2 y (6 y + 5)$ .

$\frac{2 y y' (6 y + 5)}{2 y (6 y + 5)} = \frac{2 x}{2 y (6 y + 5)}$

Bước 5.3.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 y y' (6 y + 5)}{2 y (6 y + 5)} = \frac{2 x}{2 y (6 y + 5)}$

Bước 5.3.2.1.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{y y' (6 y + 5)}{y (6 y + 5)} = \frac{2 x}{2 y (6 y + 5)}$

Bước 5.3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{y y' (6 y + 5)}{y (6 y + 5)} = \frac{2 x}{2 y (6 y + 5)}$

Bước 5.3.2.2.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{y' (6 y + 5)}{6 y + 5} = \frac{2 x}{2 y (6 y + 5)}$

Bước 5.3.2.3

Triệt tiêu thừa số chung $6 y + 5$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.2.3.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{y' (6 y + 5)}{6 y + 5} = \frac{2 x}{2 y (6 y + 5)}$

Bước 5.3.2.3.2

Chia $y'$ cho $1$ .

$y' = \frac{2 x}{2 y (6 y + 5)}$

Bước 5.3.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.3.1

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.3.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$y' = \frac{2 x}{2 y (6 y + 5)}$

Bước 5.3.3.1.2

Viết lại biểu thức.

$y' = \frac{x}{y (6 y + 5)}$

Bước 6

Thay thế $y'$ bằng $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{y (6 y + 5)}$