Giải tích Ví dụ

$y = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2}}{2 x^{2}}$

Bước 1

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $\frac{{(x^{2} + 1)}^{2}}{2 x^{2}}$ đối với $x$ là $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\frac{{(x^{2} + 1)}^{2}}{x^{2}}]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\frac{{(x^{2} + 1)}^{2}}{x^{2}}]$

Bước 2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc thương số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ là $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ trong đó $f (x) = {(x^{2} + 1)}^{2}$ và $g (x) = x^{2}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x^{2} \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{2}] - {(x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(x^{2})}^{2}}$

Bước 3

Nhân các số mũ trong ${(x^{2})}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x^{2} \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{2}] - {(x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{2 \cdot 2}}$

Bước 3.2

Nhân $2$ với $2$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x^{2} \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{2}] - {(x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Bước 4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{2}$ và $g (x) = x^{2} + 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $x^{2} + 1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x^{2} (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]) - {(x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Bước 4.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x^{2} (2 u \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]) - {(x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Bước 4.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $x^{2} + 1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x^{2} (2 (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]) - {(x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Bước 5

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x^{2} + 1$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x^{2} (2 (x^{2} + 1) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])) - {(x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Bước 5.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x^{2} (2 (x^{2} + 1) (2 x + \frac{d}{d x} [1])) - {(x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Bước 5.3

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x^{2} (2 (x^{2} + 1) (2 x + 0)) - {(x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Bước 5.4

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.1

Cộng $2 x$ và $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x^{2} (2 (x^{2} + 1) (2 x)) - {(x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Bước 5.4.2

Nhân $2$ với $2$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x^{2} (4 (x^{2} + 1) x) - {(x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Bước 6

Nhân $x^{2}$ với $x$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Di chuyển $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x \cdot x^{2} (4 (x^{2} + 1)) - {(x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Bước 6.2

Nhân $x$ với $x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x^{1} x^{2} (4 (x^{2} + 1)) - {(x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Bước 6.2.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x^{1 + 2} (4 (x^{2} + 1)) - {(x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Bước 6.3

Cộng $1$ và $2$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x^{3} (4 (x^{2} + 1)) - {(x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Bước 7

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x^{3} (4 (x^{2} + 1)) - {(x^{2} + 1)}^{2} (2 x)}{x^{4}}$

Bước 8

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Nhân $2$ với $- 1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x^{3} (4 (x^{2} + 1)) - 2 {(x^{2} + 1)}^{2} x}{x^{4}}$

Bước 8.2

Nhân $\frac{1}{2}$ với $\frac{x^{3} (4 (x^{2} + 1)) - 2 {(x^{2} + 1)}^{2} x}{x^{4}}$ .

$\frac{x^{3} (4 (x^{2} + 1)) - 2 {(x^{2} + 1)}^{2} x}{2 x^{4}}$

Bước 9

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{x^{3} (4 x^{2} + 4 \cdot 1) - 2 {(x^{2} + 1)}^{2} x}{2 x^{4}}$

Bước 9.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{x^{3} (4 x^{2}) + x^{3} (4 \cdot 1) - 2 {(x^{2} + 1)}^{2} x}{2 x^{4}}$

Bước 9.3

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.3.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.3.1.1

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$\frac{4 x^{3} x^{2} + x^{3} (4 \cdot 1) - 2 {(x^{2} + 1)}^{2} x}{2 x^{4}}$

Bước 9.3.1.2

Nhân $x^{3}$ với $x^{2}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.3.1.2.1

Di chuyển $x^{2}$ .

$\frac{4 (x^{2} x^{3}) + x^{3} (4 \cdot 1) - 2 {(x^{2} + 1)}^{2} x}{2 x^{4}}$

Bước 9.3.1.2.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{4 x^{2 + 3} + x^{3} (4 \cdot 1) - 2 {(x^{2} + 1)}^{2} x}{2 x^{4}}$

Bước 9.3.1.2.3

Cộng $2$ và $3$ .

$\frac{4 x^{5} + x^{3} (4 \cdot 1) - 2 {(x^{2} + 1)}^{2} x}{2 x^{4}}$

Bước 9.3.1.3

Nhân $4$ với $1$ .

$\frac{4 x^{5} + x^{3} \cdot 4 - 2 {(x^{2} + 1)}^{2} x}{2 x^{4}}$

Bước 9.3.1.4

Di chuyển $4$ sang phía bên trái của $x^{3}$ .

$\frac{4 x^{5} + 4 \cdot x^{3} - 2 {(x^{2} + 1)}^{2} x}{2 x^{4}}$

Bước 9.3.1.5

Viết lại ${(x^{2} + 1)}^{2}$ ở dạng $(x^{2} + 1) (x^{2} + 1)$ .

$\frac{4 x^{5} + 4 x^{3} - 2 ((x^{2} + 1) (x^{2} + 1)) x}{2 x^{4}}$

Bước 9.3.1.6

Khai triển $(x^{2} + 1) (x^{2} + 1)$ bằng cách sử dụng Phương pháp FOIL.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.3.1.6.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{4 x^{5} + 4 x^{3} - 2 (x^{2} (x^{2} + 1) + 1 (x^{2} + 1)) x}{2 x^{4}}$

Bước 9.3.1.6.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{4 x^{5} + 4 x^{3} - 2 (x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 1 + 1 (x^{2} + 1)) x}{2 x^{4}}$

Bước 9.3.1.6.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{4 x^{5} + 4 x^{3} - 2 (x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 1 + 1 x^{2} + 1 \cdot 1) x}{2 x^{4}}$

Bước 9.3.1.7

Rút gọn và kết hợp các số hạng đồng dạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.3.1.7.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.3.1.7.1.1

Nhân $x^{2}$ với $x^{2}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.3.1.7.1.1.1

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{4 x^{5} + 4 x^{3} - 2 (x^{2 + 2} + x^{2} \cdot 1 + 1 x^{2} + 1 \cdot 1) x}{2 x^{4}}$

Bước 9.3.1.7.1.1.2

Cộng $2$ và $2$ .

$\frac{4 x^{5} + 4 x^{3} - 2 (x^{4} + x^{2} \cdot 1 + 1 x^{2} + 1 \cdot 1) x}{2 x^{4}}$

Bước 9.3.1.7.1.2

Nhân $x^{2}$ với $1$ .

$\frac{4 x^{5} + 4 x^{3} - 2 (x^{4} + x^{2} + 1 x^{2} + 1 \cdot 1) x}{2 x^{4}}$

Bước 9.3.1.7.1.3

Nhân $x^{2}$ với $1$ .

$\frac{4 x^{5} + 4 x^{3} - 2 (x^{4} + x^{2} + x^{2} + 1 \cdot 1) x}{2 x^{4}}$

Bước 9.3.1.7.1.4

Nhân $1$ với $1$ .

$\frac{4 x^{5} + 4 x^{3} - 2 (x^{4} + x^{2} + x^{2} + 1) x}{2 x^{4}}$

Bước 9.3.1.7.2

Cộng $x^{2}$ và $x^{2}$ .

$\frac{4 x^{5} + 4 x^{3} - 2 (x^{4} + 2 x^{2} + 1) x}{2 x^{4}}$

Bước 9.3.1.8

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{4 x^{5} + 4 x^{3} + (- 2 x^{4} - 2 (2 x^{2}) - 2 \cdot 1) x}{2 x^{4}}$

Bước 9.3.1.9

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.3.1.9.1

Nhân $2$ với $- 2$ .

$\frac{4 x^{5} + 4 x^{3} + (- 2 x^{4} - 4 x^{2} - 2 \cdot 1) x}{2 x^{4}}$

Bước 9.3.1.9.2

Nhân $- 2$ với $1$ .

$\frac{4 x^{5} + 4 x^{3} + (- 2 x^{4} - 4 x^{2} - 2) x}{2 x^{4}}$

Bước 9.3.1.10

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{4 x^{5} + 4 x^{3} - 2 x^{4} x - 4 x^{2} x - 2 x}{2 x^{4}}$

Bước 9.3.1.11

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.3.1.11.1

Nhân $x^{4}$ với $x$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.3.1.11.1.1

Di chuyển $x$ .

$\frac{4 x^{5} + 4 x^{3} - 2 (x \cdot x^{4}) - 4 x^{2} x - 2 x}{2 x^{4}}$

Bước 9.3.1.11.1.2

Nhân $x$ với $x^{4}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.3.1.11.1.2.1

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{4 x^{5} + 4 x^{3} - 2 (x^{1} x^{4}) - 4 x^{2} x - 2 x}{2 x^{4}}$

Bước 9.3.1.11.1.2.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{4 x^{5} + 4 x^{3} - 2 x^{1 + 4} - 4 x^{2} x - 2 x}{2 x^{4}}$

Bước 9.3.1.11.1.3

Cộng $1$ và $4$ .

$\frac{4 x^{5} + 4 x^{3} - 2 x^{5} - 4 x^{2} x - 2 x}{2 x^{4}}$

Bước 9.3.1.11.2

Nhân $x^{2}$ với $x$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.3.1.11.2.1

Di chuyển $x$ .

$\frac{4 x^{5} + 4 x^{3} - 2 x^{5} - 4 (x \cdot x^{2}) - 2 x}{2 x^{4}}$

Bước 9.3.1.11.2.2

Nhân $x$ với $x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.3.1.11.2.2.1

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{4 x^{5} + 4 x^{3} - 2 x^{5} - 4 (x^{1} x^{2}) - 2 x}{2 x^{4}}$

Bước 9.3.1.11.2.2.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{4 x^{5} + 4 x^{3} - 2 x^{5} - 4 x^{1 + 2} - 2 x}{2 x^{4}}$

Bước 9.3.1.11.2.3

Cộng $1$ và $2$ .

$\frac{4 x^{5} + 4 x^{3} - 2 x^{5} - 4 x^{3} - 2 x}{2 x^{4}}$

Bước 9.3.2

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $4 x^{5} + 4 x^{3} - 2 x^{5} - 4 x^{3} - 2 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.3.2.1

Trừ $4 x^{3}$ khỏi $4 x^{3}$ .

$\frac{4 x^{5} - 2 x^{5} + 0 - 2 x}{2 x^{4}}$

Bước 9.3.2.2

Cộng $4 x^{5} - 2 x^{5}$ và $0$ .

$\frac{4 x^{5} - 2 x^{5} - 2 x}{2 x^{4}}$

Bước 9.3.3

Trừ $2 x^{5}$ khỏi $4 x^{5}$ .

$\frac{2 x^{5} - 2 x}{2 x^{4}}$

Bước 9.4

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.4.1

Đưa $2 x$ ra ngoài $2 x^{5} - 2 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.4.1.1

Đưa $2 x$ ra ngoài $2 x^{5}$ .

$\frac{2 x (x^{4}) - 2 x}{2 x^{4}}$

Bước 9.4.1.2

Đưa $2 x$ ra ngoài $- 2 x$ .

$\frac{2 x (x^{4}) + 2 x (- 1)}{2 x^{4}}$

Bước 9.4.1.3

Đưa $2 x$ ra ngoài $2 x (x^{4}) + 2 x (- 1)$ .

$\frac{2 x (x^{4} - 1)}{2 x^{4}}$

Bước 9.4.2

Viết lại $x^{4}$ ở dạng ${(x^{2})}^{2}$ .

$\frac{2 x ({(x^{2})}^{2} - 1)}{2 x^{4}}$

Bước 9.4.3

Viết lại $1$ ở dạng $1^{2}$ .

$\frac{2 x ({(x^{2})}^{2} - 1^{2})}{2 x^{4}}$

Bước 9.4.4

Vì cả hai số hạng đều là số chính phương, nên ta phân tích thành thừa số bằng công thức hiệu của hai bình phương, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ trong đó $a = x^{2}$ và $b = 1$ .

$\frac{2 x ((x^{2} + 1) (x^{2} - 1))}{2 x^{4}}$

Bước 9.4.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.4.5.1

Viết lại $1$ ở dạng $1^{2}$ .

$\frac{2 x ((x^{2} + 1) (x^{2} - 1^{2}))}{2 x^{4}}$

Bước 9.4.5.2

Vì cả hai số hạng đều là số chính phương, nên ta phân tích thành thừa số bằng công thức hiệu của hai bình phương, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ trong đó $a = x$ và $b = 1$ .

$\frac{2 x ((x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1))}{2 x^{4}}$

$\frac{2 x (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{2 x^{4}}$

Bước 9.5

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.5.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 x (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{2 x^{4}}$

Bước 9.5.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{((x (x^{2} + 1)) (x + 1)) (x - 1)}{x^{4}}$

Bước 9.6

Triệt tiêu thừa số chung của $x$ và $x^{4}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.6.1

Đưa $x$ ra ngoài $((x (x^{2} + 1)) (x + 1)) (x - 1)$ .

$\frac{x (((x^{2} + 1) (x + 1)) (x - 1))}{x^{4}}$

Bước 9.6.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.6.2.1

Đưa $x$ ra ngoài $x^{4}$ .

$\frac{x (((x^{2} + 1) (x + 1)) (x - 1))}{x \cdot x^{3}}$

Bước 9.6.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{x (((x^{2} + 1) (x + 1)) (x - 1))}{x \cdot x^{3}}$

Bước 9.6.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{((x^{2} + 1) (x + 1)) (x - 1)}{x^{3}}$

$\frac{(x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x^{3}}$