Giải tích Ví dụ

$\int_{- 3}^{4} (2 e^{- 3 x} - 3 e^{x}) d x$

Bước 1

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$\int_{- 3}^{4} 2 e^{- 3 x} - 3 e^{x} d x$

Bước 2

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\int_{- 3}^{4} 2 e^{- 3 x} d x + \int_{- 3}^{4} - 3 e^{x} d x$

Bước 3

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $2$ ra khỏi tích phân.

$2 \int_{- 3}^{4} e^{- 3 x} d x + \int_{- 3}^{4} - 3 e^{x} d x$

Bước 4

Giả sử $u = - 3 x$ . Sau đó $d u = - 3 d x$ , nên $- \frac{1}{3} d u = d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Hãy đặt $u = - 3 x$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1

Tính đạo hàm $- 3 x$ .

$\frac{d}{d x} [- 3 x]$

Bước 4.1.2

Vì $- 3$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- 3 x$ đối với $x$ là $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 3 \frac{d}{d x} [x]$

Bước 4.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$- 3 \cdot 1$

Bước 4.1.4

Nhân $- 3$ với $1$ .

$- 3$

Bước 4.2

Thay giới hạn dưới vào cho $x$ trong $u = - 3 x$ .

$u_{lower} = - 3 \cdot - 3$

Bước 4.3

Nhân $- 3$ với $- 3$ .

$u_{lower} = 9$

Bước 4.4

Thay giới hạn trên vào cho $x$ trong $u = - 3 x$ .

$u_{upper} = - 3 \cdot 4$

Bước 4.5

Nhân $- 3$ với $4$ .

$u_{upper} = - 12$

Bước 4.6

Các giá trị tìm được cho $u_{lower}$ và $u_{upper}$ sẽ được sử dụng để tính tích phân xác định.

$u_{lower} = 9$

$u_{upper} = - 12$

Bước 4.7

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ , $d u$ , và các giới hạn mới của phép tích phân.

$2 \int_{9}^{- 12} e^{u} \frac{1}{- 3} d u + \int_{- 3}^{4} - 3 e^{x} d x$

Bước 5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$2 \int_{9}^{- 12} e^{u} (- \frac{1}{3}) d u + \int_{- 3}^{4} - 3 e^{x} d x$

Bước 5.2

Kết hợp $e^{u}$ và $\frac{1}{3}$ .

$2 \int_{9}^{- 12} - \frac{e^{u}}{3} d u + \int_{- 3}^{4} - 3 e^{x} d x$

Bước 6

Vì $- 1$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$2 (- \int_{9}^{- 12} \frac{e^{u}}{3} d u) + \int_{- 3}^{4} - 3 e^{x} d x$

Bước 7

Nhân $- 1$ với $2$ .

$- 2 \int_{9}^{- 12} \frac{e^{u}}{3} d u + \int_{- 3}^{4} - 3 e^{x} d x$

Bước 8

Vì $\frac{1}{3}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{3}$ ra khỏi tích phân.

$- 2 (\frac{1}{3} \int_{9}^{- 12} e^{u} d u) + \int_{- 3}^{4} - 3 e^{x} d x$

Bước 9

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Kết hợp $\frac{1}{3}$ và $- 2$ .

$\frac{- 2}{3} \int_{9}^{- 12} e^{u} d u + \int_{- 3}^{4} - 3 e^{x} d x$

Bước 9.2

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{2}{3} \int_{9}^{- 12} e^{u} d u + \int_{- 3}^{4} - 3 e^{x} d x$

Bước 10

Tích phân của $e^{u}$ đối với $u$ là $e^{u}$ .

$- \frac{2}{3} e^{u}]_{9}^{- 12} + \int_{- 3}^{4} - 3 e^{x} d x$

Bước 11

Vì $- 3$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- 3$ ra khỏi tích phân.

$- \frac{2}{3} e^{u}]_{9}^{- 12} - 3 \int_{- 3}^{4} e^{x} d x$

Bước 12

Tích phân của $e^{x}$ đối với $x$ là $e^{x}$ .

$- \frac{2}{3} e^{u}]_{9}^{- 12} - 3 (e^{x}]_{- 3}^{4})$

Bước 13

Thay và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1

Tính $e^{u}$ tại $- 12$ và tại $9$ .

$- \frac{2}{3} ((e^{- 12}) - e^{9}) - 3 (e^{x}]_{- 3}^{4})$

Bước 13.2

Tính $e^{x}$ tại $4$ và tại $- 3$ .

$- \frac{2}{3} ((e^{- 12}) - e^{9}) - 3 ((e^{4}) - e^{- 3})$

Bước 13.3

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$- \frac{2}{3} (e^{- 12} - e^{9}) - 3 (e^{4} - e^{- 3})$

Bước 14

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.1.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$- \frac{2}{3} e^{- 12} - \frac{2}{3} (- e^{9}) - 3 (e^{4} - e^{- 3})$

Bước 14.1.2

Kết hợp $e^{- 12}$ và $\frac{2}{3}$ .

$- \frac{e^{- 12} \cdot 2}{3} - \frac{2}{3} (- e^{9}) - 3 (e^{4} - e^{- 3})$

Bước 14.1.3

Nhân $- \frac{2}{3} (- e^{9})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.1.3.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$- \frac{e^{- 12} \cdot 2}{3} + 1 (\frac{2}{3}) e^{9} - 3 (e^{4} - e^{- 3})$

Bước 14.1.3.2

Nhân $\frac{2}{3}$ với $1$ .

$- \frac{e^{- 12} \cdot 2}{3} + \frac{2}{3} e^{9} - 3 (e^{4} - e^{- 3})$

Bước 14.1.3.3

Kết hợp $\frac{2}{3}$ và $e^{9}$ .

$- \frac{e^{- 12} \cdot 2}{3} + \frac{2 e^{9}}{3} - 3 (e^{4} - e^{- 3})$

Bước 14.1.4

Di chuyển $e^{- 12}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{2}{3 e^{12}} + \frac{2 e^{9}}{3} - 3 (e^{4} - e^{- 3})$

Bước 14.1.5

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$- \frac{2}{3 e^{12}} + \frac{2 e^{9}}{3} - 3 e^{4} - 3 (- e^{- 3})$

Bước 14.1.6

Nhân $- 1$ với $- 3$ .

$- \frac{2}{3 e^{12}} + \frac{2 e^{9}}{3} - 3 e^{4} + 3 e^{- 3}$

Bước 14.2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.2.1

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{2}{3 e^{12}} + \frac{2 e^{9}}{3} - 3 e^{4} + 3 \frac{1}{e^{3}}$

Bước 14.2.2

Kết hợp $3$ và $\frac{1}{e^{3}}$ .

$- \frac{2}{3 e^{12}} + \frac{2 e^{9}}{3} - 3 e^{4} + \frac{3}{e^{3}}$

Bước 15

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$- \frac{2}{3 e^{12}} + \frac{2 e^{9}}{3} - 3 e^{4} + \frac{3}{e^{3}}$

Dạng thập phân:

$5238.41085872 \dots$

Bước 16