Giải tích Ví dụ

$\frac{1}{x^{2} + y^{2}}$

Bước 1

Viết lại $\frac{1}{x^{2} + y^{2}}$ ở dạng ${(x^{2} + y^{2})}^{- 1}$ .

$\frac{d}{d y} [{(x^{2} + y^{2})}^{- 1}]$

Bước 2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ là $f' (g (y)) g' (y)$ trong đó $f (y) = y^{- 1}$ và $g (y) = x^{2} + y^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $x^{2} + y^{2}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d y} [x^{2} + y^{2}]$

Bước 2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = - 1$ .

$- u^{- 2} \frac{d}{d y} [x^{2} + y^{2}]$

Bước 2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $x^{2} + y^{2}$ .

$- {(x^{2} + y^{2})}^{- 2} \frac{d}{d y} [x^{2} + y^{2}]$

Bước 3

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x^{2} + y^{2}$ đối với $y$ là $\frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$- {(x^{2} + y^{2})}^{- 2} (\frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [y^{2}])$

Bước 3.2

Vì $x^{2}$ là hằng số đối với $y$ , đạo hàm của $x^{2}$ đối với $y$ là $0$ .

$- {(x^{2} + y^{2})}^{- 2} (0 + \frac{d}{d y} [y^{2}])$

Bước 3.3

Cộng $0$ và $\frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$- {(x^{2} + y^{2})}^{- 2} \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Bước 3.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ là $n y^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$- {(x^{2} + y^{2})}^{- 2} (2 y)$

Bước 3.5

Nhân $2$ với $- 1$ .

$- 2 {(x^{2} + y^{2})}^{- 2} y$

Bước 4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 2 \frac{1}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}} y$

Bước 4.2

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Kết hợp $- 2$ và $\frac{1}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$ .

$\frac{- 2}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}} y$

Bước 4.2.2

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{2}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}} y$

Bước 4.2.3

Kết hợp $y$ và $\frac{2}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$ .

$- \frac{y \cdot 2}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

Bước 4.2.4

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $y$ .

$- \frac{2 y}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$