Giải tích Ví dụ

$\int_{0}^{a^{\frac{1}{2}}} x^{3} \sqrt{a^{2} - x^{4}} d x$

Bước 1

Giả sử $u = a^{2} - x^{4}$ . Sau đó $d u = - 4 x^{3} d x$ , nên $- \frac{1}{4} d u = x^{3} d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Hãy đặt $u = a^{2} - x^{4}$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Tính đạo hàm $a^{2} - x^{4}$ .

$\frac{d}{d x} [a^{2} - x^{4}]$

Bước 1.1.2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $a^{2} - x^{4}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [a^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{4}]$ .

$\frac{d}{d x} [a^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{4}]$

Bước 1.1.2.2

Vì $a^{2}$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $a^{2}$ đối với $x$ là $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- x^{4}]$

Bước 1.1.3

Tính $\frac{d}{d x} [- x^{4}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.3.1

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- x^{4}$ đối với $x$ là $- \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$0 - \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Bước 1.1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 4$ .

$0 - (4 x^{3})$

Bước 1.1.3.3

Nhân $4$ với $- 1$ .

$0 - 4 x^{3}$

Bước 1.1.4

Trừ $4 x^{3}$ khỏi $0$ .

$- 4 x^{3}$

Bước 1.2

Thay giới hạn dưới vào cho $x$ trong $u = a^{2} - x^{4}$ .

$u_{lower} = a^{2} - 0^{4}$

Bước 1.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1.1

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$u_{lower} = a^{2} - 0$

Bước 1.3.1.2

Nhân $- 1$ với $0$ .

$u_{lower} = a^{2} + 0$

Bước 1.3.2

Cộng $a^{2}$ và $0$ .

$u_{lower} = a^{2}$

Bước 1.4

Thay giới hạn trên vào cho $x$ trong $u = a^{2} - x^{4}$ .

$u_{upper} = a^{2} - {(a^{\frac{1}{2}})}^{4}$

Bước 1.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.1

Nhân các số mũ trong ${(a^{\frac{1}{2}})}^{4}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.1.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$u_{upper} = a^{2} - a^{\frac{1}{2} \cdot 4}$

Bước 1.5.1.2

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.1.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $4$ .

$u_{upper} = a^{2} - a^{\frac{1}{2} \cdot (2 (2))}$

Bước 1.5.1.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$u_{upper} = a^{2} - a^{\frac{1}{2} \cdot (2 \cdot 2)}$

Bước 1.5.1.2.3

Viết lại biểu thức.

$u_{upper} = a^{2} - a^{2}$

Bước 1.5.2

Trừ $a^{2}$ khỏi $a^{2}$ .

$u_{upper} = 0$

Bước 1.6

Các giá trị tìm được cho $u_{lower}$ và $u_{upper}$ sẽ được sử dụng để tính tích phân xác định.

$u_{lower} = a^{2}$

$u_{upper} = 0$

Bước 1.7

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ , $d u$ , và các giới hạn mới của phép tích phân.

$\int_{a^{2}}^{0} \sqrt{u} \frac{1}{- 4} d u$

Bước 2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\int_{a^{2}}^{0} \sqrt{u} (- \frac{1}{4}) d u$

Bước 2.2

Kết hợp $\sqrt{u}$ và $\frac{1}{4}$ .

$\int_{a^{2}}^{0} - \frac{\sqrt{u}}{4} d u$

Bước 3

Vì $- 1$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$- \int_{a^{2}}^{0} \frac{\sqrt{u}}{4} d u$

Bước 4

Vì $\frac{1}{4}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{4}$ ra khỏi tích phân.

$- (\frac{1}{4} \int_{a^{2}}^{0} \sqrt{u} d u)$

Bước 5

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{u}$ ở dạng $u^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{1}{4} \int_{a^{2}}^{0} u^{\frac{1}{2}} d u$

Bước 6

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u^{\frac{1}{2}}$ đối với $u$ là $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$- \frac{1}{4} \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{a^{2}}^{0}$

Bước 7

Thay và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Tính $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ tại $0$ và tại $a^{2}$ .

$- \frac{1}{4} ((\frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} {(a^{2})}^{\frac{3}{2}})$

Bước 7.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1

Viết lại $0$ ở dạng $0^{2}$ .

$- \frac{1}{4} (\frac{2}{3} \cdot {(0^{2})}^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} {(a^{2})}^{\frac{3}{2}})$

Bước 7.2.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{4} (\frac{2}{3} \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} {(a^{2})}^{\frac{3}{2}})$

Bước 7.2.3

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.3.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$- \frac{1}{4} (\frac{2}{3} \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} {(a^{2})}^{\frac{3}{2}})$

Bước 7.2.3.2

Viết lại biểu thức.

$- \frac{1}{4} (\frac{2}{3} \cdot 0^{3} - \frac{2}{3} {(a^{2})}^{\frac{3}{2}})$

Bước 7.2.4

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$- \frac{1}{4} (\frac{2}{3} \cdot 0 - \frac{2}{3} {(a^{2})}^{\frac{3}{2}})$

Bước 7.2.5

Nhân $\frac{2}{3}$ với $0$ .

$- \frac{1}{4} (0 - \frac{2}{3} {(a^{2})}^{\frac{3}{2}})$

Bước 7.2.6

Nhân các số mũ trong ${(a^{2})}^{\frac{3}{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.6.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{4} (0 - \frac{2}{3} a^{2 (\frac{3}{2})})$

Bước 7.2.6.2

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.6.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$- \frac{1}{4} (0 - \frac{2}{3} a^{2 (\frac{3}{2})})$

Bước 7.2.6.2.2

Viết lại biểu thức.

$- \frac{1}{4} (0 - \frac{2}{3} a^{3})$

Bước 7.2.7

Trừ $\frac{2}{3} a^{3}$ khỏi $0$ .

$- \frac{1}{4} (- \frac{2}{3} a^{3})$

Bước 7.2.8

Kết hợp $a^{3}$ và $\frac{2}{3}$ .

$- \frac{1}{4} (- \frac{a^{3} \cdot 2}{3})$

Bước 7.2.9

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$1 (\frac{1}{4}) \frac{a^{3} \cdot 2}{3}$

Bước 7.2.10

Nhân $\frac{1}{4}$ với $1$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{a^{3} \cdot 2}{3}$

Bước 7.2.11

Nhân $\frac{1}{4}$ với $\frac{a^{3} \cdot 2}{3}$ .

$\frac{a^{3} \cdot 2}{4 \cdot 3}$

Bước 7.2.12

Nhân $4$ với $3$ .

$\frac{a^{3} \cdot 2}{12}$

Bước 7.2.13

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $a^{3}$ .

$\frac{2 \cdot a^{3}}{12}$

Bước 7.2.14

Triệt tiêu thừa số chung của $2$ và $12$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.14.1

Đưa $2$ ra ngoài $2 a^{3}$ .

$\frac{2 (a^{3})}{12}$

Bước 7.2.14.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.14.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $12$ .

$\frac{2 a^{3}}{2 \cdot 6}$

Bước 7.2.14.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 a^{3}}{2 \cdot 6}$

Bước 7.2.14.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{a^{3}}{6}$

Bước 8

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{1}{6} a^{3}$

Bước 9

Kết hợp $\frac{1}{6}$ và $a^{3}$ .

$\frac{a^{3}}{6}$