Giải tích Ví dụ

$\int_{0}^{\ln (2)} x e^{- x} d x$

Bước 1

Lấy tích phân từng phần bằng công thức $\int u d v = u v - \int v d u$ , trong đó $u = x$ và $d v = e^{- x}$ .

$x (- e^{- x})]_{0}^{\ln (2)} - \int_{0}^{\ln (2)} - e^{- x} d x$

Bước 2

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$x (- e^{- x})]_{0}^{\ln (2)} - - \int_{0}^{\ln (2)} e^{- x} d x$

Bước 3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$x (- e^{- x})]_{0}^{\ln (2)} + 1 \int_{0}^{\ln (2)} e^{- x} d x$

Bước 3.2

Nhân $\int_{0}^{\ln (2)} e^{- x} d x$ với $1$ .

$x (- e^{- x})]_{0}^{\ln (2)} + \int_{0}^{\ln (2)} e^{- x} d x$

Bước 4

Giả sử $u = - x$ . Sau đó $d u = - d x$ , nên $- d u = d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Hãy đặt $u = - x$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1

Tính đạo hàm $- x$ .

$\frac{d}{d x} [- x]$

Bước 4.1.2

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- x$ đối với $x$ là $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{d}{d x} [x]$

Bước 4.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Bước 4.1.4

Nhân $- 1$ với $1$ .

$- 1$

Bước 4.2

Thay giới hạn dưới vào cho $x$ trong $u = - x$ .

$u_{lower} = - 0$

Bước 4.3

Nhân $- 1$ với $0$ .

$u_{lower} = 0$

Bước 4.4

Thay giới hạn trên vào cho $x$ trong $u = - x$ .

$u_{upper} = - \ln (2)$

Bước 4.5

Các giá trị tìm được cho $u_{lower}$ và $u_{upper}$ sẽ được sử dụng để tính tích phân xác định.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = - \ln (2)$

Bước 4.6

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ , $d u$ , và các giới hạn mới của phép tích phân.

$x (- e^{- x})]_{0}^{\ln (2)} + \int_{0}^{- \ln (2)} - e^{u} d u$

Bước 5

Vì $- 1$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$x (- e^{- x})]_{0}^{\ln (2)} - \int_{0}^{- \ln (2)} e^{u} d u$

Bước 6

Tích phân của $e^{u}$ đối với $u$ là $e^{u}$ .

$x (- e^{- x})]_{0}^{\ln (2)} - (e^{u}]_{0}^{- \ln (2)})$

Bước 7

Thay và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Tính $x (- e^{- x})$ tại $\ln (2)$ và tại $0$ .

$(\ln (2) (- e^{- \ln (2)})) + 0 (- e^{- 0}) - (e^{u}]_{0}^{- \ln (2)})$

Bước 7.2

Tính $e^{u}$ tại $- \ln (2)$ và tại $0$ .

$(\ln (2) (- e^{- \ln (2)})) + 0 (- e^{- 0}) - ((e^{- \ln (2)}) - e^{0})$

Bước 7.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.3.1

Nhân $- 1$ với $0$ .

$\ln (2) (- e^{- \ln (2)}) + 0 (- e^{0}) - ((e^{- \ln (2)}) - e^{0})$

Bước 7.3.2

Bất kỳ đại lượng nào mũ $0$ lên đều là $1$ .

$\ln (2) (- e^{- \ln (2)}) + 0 (- 1 \cdot 1) - ((e^{- \ln (2)}) - e^{0})$

Bước 7.3.3

Nhân $- 1$ với $1$ .

$\ln (2) (- e^{- \ln (2)}) + 0 \cdot - 1 - ((e^{- \ln (2)}) - e^{0})$

Bước 7.3.4

Nhân $0$ với $- 1$ .

$\ln (2) (- e^{- \ln (2)}) + 0 - ((e^{- \ln (2)}) - e^{0})$

Bước 7.3.5

Cộng $\ln (2) (- e^{- \ln (2)})$ và $0$ .

$\ln (2) (- e^{- \ln (2)}) - ((e^{- \ln (2)}) - e^{0})$

Bước 7.3.6

Bất kỳ đại lượng nào mũ $0$ lên đều là $1$ .

$\ln (2) (- e^{- \ln (2)}) - (e^{- \ln (2)} - 1 \cdot 1)$

Bước 7.3.7

Nhân $- 1$ với $1$ .

$\ln (2) (- e^{- \ln (2)}) - (e^{- \ln (2)} - 1)$

Bước 8

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Rút gọn $- \ln (2)$ bằng cách di chuyển $- 1$ trong logarit.

$\ln (2) (- e^{\ln (2^{- 1})}) - (e^{- \ln (2)} - 1)$

Bước 8.2

Lũy thừa và logarit là các hàm nghịch đảo.

$\ln (2) (- 2^{- 1}) - (e^{- \ln (2)} - 1)$

Bước 8.3

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\ln (2) (- \frac{1}{2}) - (e^{- \ln (2)} - 1)$

Bước 8.4

Kết hợp $\ln (2)$ và $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{\ln (2)}{2} - (e^{- \ln (2)} - 1)$

Bước 8.5

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.5.1

Rút gọn $- \ln (2)$ bằng cách di chuyển $- 1$ trong logarit.

$- \frac{\ln (2)}{2} - (e^{\ln (2^{- 1})} - 1)$

Bước 8.5.2

Lũy thừa và logarit là các hàm nghịch đảo.

$- \frac{\ln (2)}{2} - (2^{- 1} - 1)$

Bước 8.5.3

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{\ln (2)}{2} - (\frac{1}{2} - 1)$

Bước 8.6

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{\ln (2)}{2} - (\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2})$

Bước 8.7

Kết hợp $- 1$ và $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{\ln (2)}{2} - (\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2})$

Bước 8.8

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$- \frac{\ln (2)}{2} - \frac{1 - 1 \cdot 2}{2}$

Bước 8.9

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.9.1

Nhân $- 1$ với $2$ .

$- \frac{\ln (2)}{2} - \frac{1 - 2}{2}$

Bước 8.9.2

Trừ $2$ khỏi $1$ .

$- \frac{\ln (2)}{2} - \frac{- 1}{2}$

Bước 8.10

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{\ln (2)}{2} - - \frac{1}{2}$

Bước 8.11

Nhân $- - \frac{1}{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.11.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$- \frac{\ln (2)}{2} + 1 (\frac{1}{2})$

Bước 8.11.2

Nhân $\frac{1}{2}$ với $1$ .

$- \frac{\ln (2)}{2} + \frac{1}{2}$

Bước 9

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$- \frac{\ln (2)}{2} + \frac{1}{2}$

Dạng thập phân:

$0.15342640 \dots$

Bước 10