Giải tích Ví dụ

$x^{2} y - 5 y = 12$

Bước 1

Tính đạo hàm hai vế của phương trình.

$\frac{d}{d x} (x^{2} y - 5 y) = \frac{d}{d x} (12)$

Bước 2

Tính đạo hàm vế trái của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x^{2} y - 5 y$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x^{2} y] + \frac{d}{d x} [- 5 y]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} y] + \frac{d}{d x} [- 5 y]$

Bước 2.2

Tính $\frac{d}{d x} [x^{2} y]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = x^{2}$ và $g (x) = y$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 y]$

Bước 2.2.2

Viết lại $\frac{d}{d x} [y]$ ở dạng $y'$ .

$x^{2} y' + y \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 y]$

Bước 2.2.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$x^{2} y' + y (2 x) + \frac{d}{d x} [- 5 y]$

Bước 2.2.4

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $y$ .

$x^{2} y' + 2 y x + \frac{d}{d x} [- 5 y]$

Bước 2.3

Tính $\frac{d}{d x} [- 5 y]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Vì $- 5$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- 5 y$ đối với $x$ là $- 5 \frac{d}{d x} [y]$ .

$x^{2} y' + 2 y x - 5 \frac{d}{d x} [y]$

Bước 2.3.2

Viết lại $\frac{d}{d x} [y]$ ở dạng $y'$ .

$x^{2} y' + 2 y x - 5 y'$

Bước 2.4

Sắp xếp lại các số hạng.

$x^{2} y' + 2 x y - 5 y'$

Bước 3

Vì $12$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $12$ đối với $x$ là $0$ .

$0$

Bước 4

Thiết lập lại phương trình bằng cách đặt vế trái bằng vế phải.

$x^{2} y' + 2 x y - 5 y' = 0$

Bước 5

Giải tìm $y'$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Trừ $2 x y$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$x^{2} y' - 5 y' = - 2 x y$

Bước 5.2

Đưa $y'$ ra ngoài $x^{2} y' - 5 y'$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Đưa $y'$ ra ngoài $x^{2} y'$ .

$y' x^{2} - 5 y' = - 2 x y$

Bước 5.2.2

Đưa $y'$ ra ngoài $- 5 y'$ .

$y' x^{2} + y' \cdot - 5 = - 2 x y$

Bước 5.2.3

Đưa $y'$ ra ngoài $y' x^{2} + y' \cdot - 5$ .

$y' (x^{2} - 5) = - 2 x y$

Bước 5.3

Chia mỗi số hạng trong $y' (x^{2} - 5) = - 2 x y$ cho $x^{2} - 5$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Chia mỗi số hạng trong $y' (x^{2} - 5) = - 2 x y$ cho $x^{2} - 5$ .

$\frac{y' (x^{2} - 5)}{x^{2} - 5} = \frac{- 2 x y}{x^{2} - 5}$

Bước 5.3.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $x^{2} - 5$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{y' (x^{2} - 5)}{x^{2} - 5} = \frac{- 2 x y}{x^{2} - 5}$

Bước 5.3.2.1.2

Chia $y'$ cho $1$ .

$y' = \frac{- 2 x y}{x^{2} - 5}$

Bước 5.3.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.3.1

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$y' = - \frac{2 x y}{x^{2} - 5}$

Bước 6

Thay thế $y'$ bằng $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 x y}{x^{2} - 5}$