Giải tích Ví dụ

$lim_{x \to - 3} \frac{e^{x + 3} - x}{3 \sin (x + 3) + 3 x}$

Bước 1

Tách giới hạn bằng quy tắc thương số của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $- 3$ .

$\frac{lim_{x \to - 3} e^{x + 3} - x}{lim_{x \to - 3} 3 \sin (x + 3) + 3 x}$

Bước 2

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $- 3$ .

$\frac{lim_{x \to - 3} e^{x + 3} - lim_{x \to - 3} x}{lim_{x \to - 3} 3 \sin (x + 3) + 3 x}$

Bước 3

Đưa giới hạn vào trong số mũ.

$\frac{e^{lim_{x \to - 3} x + 3} - lim_{x \to - 3} x}{lim_{x \to - 3} 3 \sin (x + 3) + 3 x}$

Bước 4

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $- 3$ .

$\frac{e^{lim_{x \to - 3} x + lim_{x \to - 3} 3} - lim_{x \to - 3} x}{lim_{x \to - 3} 3 \sin (x + 3) + 3 x}$

Bước 5

Tính giới hạn của $3$ mà không đổi khi $x$ tiến dần đến $- 3$ .

$\frac{e^{lim_{x \to - 3} x + 3} - lim_{x \to - 3} x}{lim_{x \to - 3} 3 \sin (x + 3) + 3 x}$

Bước 6

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $- 3$ .

$\frac{e^{lim_{x \to - 3} x + 3} - lim_{x \to - 3} x}{lim_{x \to - 3} 3 \sin (x + 3) + lim_{x \to - 3} 3 x}$

Bước 7

Chuyển số hạng $3$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $x$ .

$\frac{e^{lim_{x \to - 3} x + 3} - lim_{x \to - 3} x}{3 lim_{x \to - 3} \sin (x + 3) + lim_{x \to - 3} 3 x}$

Bước 8

Di chuyển giới hạn vào trong hàm lượng giác vì sin liên tục.

$\frac{e^{lim_{x \to - 3} x + 3} - lim_{x \to - 3} x}{3 \sin (lim_{x \to - 3} x + 3) + lim_{x \to - 3} 3 x}$

Bước 9

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $- 3$ .

$\frac{e^{lim_{x \to - 3} x + 3} - lim_{x \to - 3} x}{3 \sin (lim_{x \to - 3} x + lim_{x \to - 3} 3) + lim_{x \to - 3} 3 x}$

Bước 10

Tính giới hạn của $3$ mà không đổi khi $x$ tiến dần đến $- 3$ .

$\frac{e^{lim_{x \to - 3} x + 3} - lim_{x \to - 3} x}{3 \sin (lim_{x \to - 3} x + 3) + lim_{x \to - 3} 3 x}$

Bước 11

Chuyển số hạng $3$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $x$ .

$\frac{e^{lim_{x \to - 3} x + 3} - lim_{x \to - 3} x}{3 \sin (lim_{x \to - 3} x + 3) + 3 lim_{x \to - 3} x}$

Bước 12

Tính các giới hạn bằng cách điền vào $- 3$ cho tất cả các lần xảy ra của $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $- 3$ cho $x$ .

$\frac{e^{- 3 + 3} - lim_{x \to - 3} x}{3 \sin (lim_{x \to - 3} x + 3) + 3 lim_{x \to - 3} x}$

Bước 12.2

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $- 3$ cho $x$ .

$\frac{e^{- 3 + 3} + 3}{3 \sin (lim_{x \to - 3} x + 3) + 3 lim_{x \to - 3} x}$

Bước 12.3

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $- 3$ cho $x$ .

$\frac{e^{- 3 + 3} + 3}{3 \sin (- 3 + 3) + 3 lim_{x \to - 3} x}$

Bước 12.4

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $- 3$ cho $x$ .

$\frac{e^{- 3 + 3} + 3}{3 \sin (- 3 + 3) + 3 \cdot - 3}$

Bước 13

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1.1

Cộng $- 3$ và $3$ .

$\frac{e^{0} + 3}{3 \sin (- 3 + 3) + 3 \cdot - 3}$

Bước 13.1.2

Bất kỳ đại lượng nào mũ $0$ lên đều là $1$ .

$\frac{1 + 3}{3 \sin (- 3 + 3) + 3 \cdot - 3}$

Bước 13.1.3

Cộng $1$ và $3$ .

$\frac{4}{3 \sin (- 3 + 3) + 3 \cdot - 3}$

Bước 13.2

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.2.1

Cộng $- 3$ và $3$ .

$\frac{4}{3 \sin (0) + 3 \cdot - 3}$

Bước 13.2.2

Giá trị chính xác của $\sin (0)$ là $0$ .

$\frac{4}{3 \cdot 0 + 3 \cdot - 3}$

Bước 13.2.3

Nhân $3$ với $0$ .

$\frac{4}{0 + 3 \cdot - 3}$

Bước 13.2.4

Nhân $3$ với $- 3$ .

$\frac{4}{0 - 9}$

Bước 13.2.5

Trừ $9$ khỏi $0$ .

$\frac{4}{- 9}$

Bước 13.3

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{4}{9}$