Giải tích Ví dụ

$\int_{0}^{1} \frac{r^{3}}{\sqrt{16 + r^{2}}} d r$

Bước 1

Không thể hoàn thành tích phân này bằng tích phân từng phần. Mathway sẽ sử dụng một phương pháp khác.

Bước 2

Giả sử $r = 4 \tan (t)$ , trong đó $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Sau đó $d r = 4 \sec^{2} (t) d t$ . Lưu ý rằng vì $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , nên $4 \sec^{2} (t)$ dương.

$\int_{0}^{0.24497866} \frac{{(4 \tan (t))}^{3}}{\sqrt{16 + {(4 \tan (t))}^{2}}} (4 \sec^{2} (t)) d t$

Bước 3

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Rút gọn $\sqrt{16 + {(4 \tan (t))}^{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1.1

Áp dụng quy tắc tích số cho $4 \tan (t)$ .

$\int_{0}^{0.24497866} \frac{{(4 \tan (t))}^{3}}{\sqrt{16 + 4^{2} \tan^{2} (t)}} (4 \sec^{2} (t)) d t$

Bước 3.1.1.2

Nâng $4$ lên lũy thừa $2$ .

$\int_{0}^{0.24497866} \frac{{(4 \tan (t))}^{3}}{\sqrt{16 + 16 \tan^{2} (t)}} (4 \sec^{2} (t)) d t$

Bước 3.1.2

Đưa $16$ ra ngoài $16$ .

$\int_{0}^{0.24497866} \frac{{(4 \tan (t))}^{3}}{\sqrt{16 (1) + 16 \tan^{2} (t)}} (4 \sec^{2} (t)) d t$

Bước 3.1.3

Đưa $16$ ra ngoài $16 \tan^{2} (t)$ .

$\int_{0}^{0.24497866} \frac{{(4 \tan (t))}^{3}}{\sqrt{16 (1) + 16 (\tan^{2} (t))}} (4 \sec^{2} (t)) d t$

Bước 3.1.4

Đưa $16$ ra ngoài $16 (1) + 16 (\tan^{2} (t))$ .

$\int_{0}^{0.24497866} \frac{{(4 \tan (t))}^{3}}{\sqrt{16 (1 + \tan^{2} (t))}} (4 \sec^{2} (t)) d t$

Bước 3.1.5

Sắp xếp lại các số hạng.

$\int_{0}^{0.24497866} \frac{{(4 \tan (t))}^{3}}{\sqrt{16 (\tan^{2} (t) + 1)}} (4 \sec^{2} (t)) d t$

Bước 3.1.6

Áp dụng đẳng thức pytago.

$\int_{0}^{0.24497866} \frac{{(4 \tan (t))}^{3}}{\sqrt{16 \sec^{2} (t)}} (4 \sec^{2} (t)) d t$

Bước 3.1.7

Viết lại $16 \sec^{2} (t)$ ở dạng ${(4 \sec (t))}^{2}$ .

$\int_{0}^{0.24497866} \frac{{(4 \tan (t))}^{3}}{\sqrt{{(4 \sec (t))}^{2}}} (4 \sec^{2} (t)) d t$

Bước 3.1.8

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực dương.

$\int_{0}^{0.24497866} \frac{{(4 \tan (t))}^{3}}{4 \sec (t)} (4 \sec^{2} (t)) d t$

Bước 3.2

Rút gọn biểu thức bằng cách triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $4 \sec (t)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1.1

Đưa $4 \sec (t)$ ra ngoài $4 \sec^{2} (t)$ .

$\int_{0}^{0.24497866} \frac{{(4 \tan (t))}^{3}}{4 \sec (t)} (4 \sec (t) (\sec (t))) d t$

Bước 3.2.1.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\int_{0}^{0.24497866} \frac{{(4 \tan (t))}^{3}}{4 \sec (t)} (4 \sec (t) \sec (t)) d t$

Bước 3.2.1.3

Viết lại biểu thức.

$\int_{0}^{0.24497866} {(4 \tan (t))}^{3} \sec (t) d t$

Bước 3.2.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.2.1

Đưa $4$ ra ngoài $4 \tan (t)$ .

$\int_{0}^{0.24497866} {(4 (\tan (t)))}^{3} \sec (t) d t$

Bước 3.2.2.2

Áp dụng quy tắc tích số cho $4 (\tan (t))$ .

$\int_{0}^{0.24497866} 4^{3} \tan^{3} (t) \sec (t) d t$

Bước 3.2.2.3

Nâng $4$ lên lũy thừa $3$ .

$\int_{0}^{0.24497866} 64 \tan^{3} (t) \sec (t) d t$

Bước 4

Vì $64$ không đổi đối với $t$ , hãy di chuyển $64$ ra khỏi tích phân.

$64 \int_{0}^{0.24497866} \tan^{3} (t) \sec (t) d t$

Bước 5

Nâng $\sec (t)$ lên lũy thừa $1$ .

$64 \int_{0}^{0.24497866} \tan^{3} (t) \sec^{1} (t) d t$

Bước 6

Đưa $\tan^{2} (t)$ ra ngoài.

$64 \int_{0}^{0.24497866} \tan^{2} (t) \tan (t) \sec^{1} (t) d t$

Bước 7

Sử dụng đẳng thức Pytago, viết lại $\tan^{2} (t)$ ở dạng $- 1 + \sec^{2} (t)$ .

$64 \int_{0}^{0.24497866} (- 1 + \sec^{2} (t)) \tan (t) \sec^{1} (t) d t$

Bước 8

Rút gọn.

$64 \int_{0}^{0.24497866} (- 1 + \sec^{2} (t)) \tan (t) \sec (t) d t$

Bước 9

Giả sử $u = \sec (t)$ . Sau đó $d u = \sec (t) \tan (t) d t$ , nên $\frac{1}{\sec (t) \tan (t)} d u = d t$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Hãy đặt $u = \sec (t)$ . Tìm $\frac{d u}{d t}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1.1

Tính đạo hàm $\sec (t)$ .

$\frac{d}{d t} [\sec (t)]$

Bước 9.1.2

Đạo hàm của $\sec (t)$ đối với $t$ là $\sec (t) \tan (t)$ .

$\sec (t) \tan (t)$

Bước 9.2

Thay giới hạn dưới vào cho $t$ trong $u = \sec (t)$ .

$u_{lower} = \sec (0)$

Bước 9.3

Giá trị chính xác của $\sec (0)$ là $1$ .

$u_{lower} = 1$

Bước 9.4

Thay giới hạn trên vào cho $t$ trong $u = \sec (t)$ .

$u_{upper} = \sec (0.24497866)$

Bước 9.5

Các giá trị tìm được cho $u_{lower}$ và $u_{upper}$ sẽ được sử dụng để tính tích phân xác định.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = \sec (0.24497866)$

Bước 9.6

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ , $d u$ , và các giới hạn mới của phép tích phân.

$64 \int_{1}^{\sec (0.24497866)} - 1 + u^{2} d u$

Bước 10

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$64 (\int_{1}^{\sec (0.24497866)} - 1 d u + \int_{1}^{\sec (0.24497866)} u^{2} d u)$

Bước 11

Áp dụng quy tắc hằng số.

$64 (- u]_{1}^{\sec (0.24497866)} + \int_{1}^{\sec (0.24497866)} u^{2} d u)$

Bước 12

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u^{2}$ đối với $u$ là $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$64 (- u]_{1}^{\sec (0.24497866)} + \frac{1}{3} u^{3}]_{1}^{\sec (0.24497866)})$

Bước 13

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1

Kết hợp $- u]_{1}^{\sec (0.24497866)}$ và $\frac{1}{3} u^{3}]_{1}^{\sec (0.24497866)}$ .

$64 (- u + \frac{1}{3} u^{3}]_{1}^{\sec (0.24497866)})$

Bước 13.2

Kết hợp $\frac{1}{3}$ và $u^{3}$ .

$64 (- u + \frac{u^{3}}{3}]_{1}^{\sec (0.24497866)})$

Bước 14

Thay và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.1

Tính $- u + \frac{u^{3}}{3}$ tại $\sec (0.24497866)$ và tại $1$ .

$64 ((- \sec (0.24497866) + \frac{\sec^{3} (0.24497866)}{3}) - (- 1 \cdot 1 + \frac{1^{3}}{3}))$

Bước 14.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.2.1

Để viết $- \sec (0.24497866)$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{3}{3}$ .

$64 (- \sec (0.24497866) \cdot \frac{3}{3} + \frac{\sec^{3} (0.24497866)}{3} - (- 1 \cdot 1 + \frac{1^{3}}{3}))$

Bước 14.2.2

Kết hợp $- \sec (0.24497866)$ và $\frac{3}{3}$ .

$64 (\frac{- \sec (0.24497866) \cdot 3}{3} + \frac{\sec^{3} (0.24497866)}{3} - (- 1 \cdot 1 + \frac{1^{3}}{3}))$

Bước 14.2.3

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$64 (\frac{- \sec (0.24497866) \cdot 3 + \sec^{3} (0.24497866)}{3} - (- 1 \cdot 1 + \frac{1^{3}}{3}))$

Bước 14.2.4

Nhân $3$ với $- 1$ .

$64 (\frac{- 3 \sec (0.24497866) + \sec^{3} (0.24497866)}{3} - (- 1 \cdot 1 + \frac{1^{3}}{3}))$

Bước 14.2.5

Nhân $- 1$ với $1$ .

$64 (\frac{- 3 \sec (0.24497866) + \sec^{3} (0.24497866)}{3} - (- 1 + \frac{1^{3}}{3}))$

Bước 14.2.6

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$64 (\frac{- 3 \sec (0.24497866) + \sec^{3} (0.24497866)}{3} - (- 1 + \frac{1}{3}))$

Bước 14.2.7

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{3}{3}$ .

$64 (\frac{- 3 \sec (0.24497866) + \sec^{3} (0.24497866)}{3} - (- 1 \cdot \frac{3}{3} + \frac{1}{3}))$

Bước 14.2.8

Kết hợp $- 1$ và $\frac{3}{3}$ .

$64 (\frac{- 3 \sec (0.24497866) + \sec^{3} (0.24497866)}{3} - (\frac{- 1 \cdot 3}{3} + \frac{1}{3}))$

Bước 14.2.9

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$64 (\frac{- 3 \sec (0.24497866) + \sec^{3} (0.24497866)}{3} - \frac{- 1 \cdot 3 + 1}{3})$

Bước 14.2.10

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.2.10.1

Nhân $- 1$ với $3$ .

$64 (\frac{- 3 \sec (0.24497866) + \sec^{3} (0.24497866)}{3} - \frac{- 3 + 1}{3})$

Bước 14.2.10.2

Cộng $- 3$ và $1$ .

$64 (\frac{- 3 \sec (0.24497866) + \sec^{3} (0.24497866)}{3} - \frac{- 2}{3})$

Bước 14.2.11

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$64 (\frac{- 3 \sec (0.24497866) + \sec^{3} (0.24497866)}{3} - - \frac{2}{3})$

Bước 14.2.12

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$64 (\frac{- 3 \sec (0.24497866) + \sec^{3} (0.24497866)}{3} + 1 (\frac{2}{3}))$

Bước 14.2.13

Nhân $\frac{2}{3}$ với $1$ .

$64 (\frac{- 3 \sec (0.24497866) + \sec^{3} (0.24497866)}{3} + \frac{2}{3})$

Bước 15

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.1

Đưa $- 1$ ra ngoài $- 3 \sec (0.24497866)$ .

$64 (\frac{- (3 \sec (0.24497866)) + \sec^{3} (0.24497866)}{3} + \frac{2}{3})$

Bước 15.2

Đưa $- 1$ ra ngoài $\sec^{3} (0.24497866)$ .

$64 (\frac{- (3 \sec (0.24497866)) - 1 (- \sec^{3} (0.24497866))}{3} + \frac{2}{3})$

Bước 15.3

Đưa $- 1$ ra ngoài $- (3 \sec (0.24497866)) - 1 (- \sec^{3} (0.24497866))$ .

$64 (\frac{- (3 \sec (0.24497866) - \sec^{3} (0.24497866))}{3} + \frac{2}{3})$

Bước 15.4

Viết lại $- (3 \sec (0.24497866) - \sec^{3} (0.24497866))$ ở dạng $- 1 (3 \sec (0.24497866) - \sec^{3} (0.24497866))$ .

$64 (\frac{- 1 (3 \sec (0.24497866) - \sec^{3} (0.24497866))}{3} + \frac{2}{3})$

Bước 15.5

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$64 (- \frac{3 \sec (0.24497866) - \sec^{3} (0.24497866)}{3} + \frac{2}{3})$

Bước 16

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$64 (- \frac{3 \sec (0.24497866) - \sec^{3} (0.24497866)}{3} + \frac{2}{3})$

Dạng thập phân:

$0.06124186 \dots$

Bước 17